湖北省宜城一中2021届高三数学上学期阶段测试（一）试题（Word版带答案）

湖北省宜城一中2021届高三数学上学期阶段测试（一）试题（Word版带答案）

宜城一中2021届高三上学期阶段测试(一)‎ 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若函数有最小值，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎5．函数的图象大致是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ 12‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9．对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（ ）‎ A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 ‎10．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．已知函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在上是增函数 C．函数是奇函数 D．方程的解为 ‎12．如图，某池塘里的浮萍面积（单位：与时间（单位：月）的关系式为，且；a，且．则下列说法正确的是（ ）‎ A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第6个月时，浮萍的面积会超过 C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为__________.‎ ‎14．已知，则__________.‎ 12‎ ‎15．函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.‎ ‎16．已知函数，，若函数的导函数与（）的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为______．‎ 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．命题；命题 ‎（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值 ‎18．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值.‎ ‎19．某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f（t），随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数,且a∈（0，1）．‎ ‎(1)令,求x的取值范围；‎ ‎(2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．‎ 12‎ 12‎ ‎20．已知数列的前项和为，，且，‎ ‎（1）证明：数列是等比数列：‎ ‎（2）求数列的通项公式与前项和.‎ ‎21．函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．‎ ‎22．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点. （1）证明：函数在区间内必有局部对称点；‎ ‎（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.‎ 12‎ 宜城一中2021届高三上学期阶段测试(一)‎ 数学试题（答案）‎ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．若函数有最小值，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．已知，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎【答案】B ‎5．函数的图象大致是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎6．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 12‎ ‎7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 【详解】 是定义在上的奇函数,且当时,‎ ‎ 当,有, 即 ‎ ‎ 在上是单调递增函数,且满足 不等式在恒成立, ,恒成立 对恒成立 解得:‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9．对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（ ）‎ A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 ‎【答案】CD ‎10．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C 12‎ ‎11．已知函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在上是增函数 C．函数是奇函数 D．方程的解为 ‎【答案】ABD ‎12．如图，某池塘里的浮萍面积（单位：与时间（单位：月）的关系式为，且；a，且．则下列说法正确的是（ ）‎ A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第6个月时，浮萍的面积会超过 C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 ‎【答案】BC ‎【解析】由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且，得：，解得：，函数关系式：，‎ 函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项错误，‎ 当时，，浮萍的面积超过了，故选项正确，‎ 令得：；令得：，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项正确，‎ 令得：；令得：；令得：，，故选项错误，‎ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎14．已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ 12‎ ‎15．函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知函数，，若函数的导函数与（）的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．命题；命题 ‎（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值 解：（1）若在上恒成立，则，‎ 所以有，所以实数的范围为；‎ ‎（2）或，‎ 根据条件的解集是，‎ 即方程的二根为2和3，‎ 根据韦达定理有，所以，．‎ ‎18．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.‎ ‎(1)求sin x－cos x的值； (2)求的值.‎ ‎【解析】　(1)由sin x＋cos x＝， 平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 整理得2sin xcos x＝－. 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.‎ 由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，所以cos x>0，则sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ 12‎ ‎(2)＝＝＝＝－.‎ ‎19．某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f（t），随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数,且a∈（0，1）．‎ ‎(1)令,求x的取值范围；‎ ‎(2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由题意,0≤t≤24，则1≤t+1≤10,∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1．故x的取值范围为：[0，1]．‎ ‎(2)由(1),知： ‎ 可设 则．‎ 根据一次函数的单调性,很明显h（x）在[0，a）上单调递减,在[a，1]上单调递增．‎ ‎∴用表示函数的最大值是中最大的值.‎ ‎∵，∴,即, 解得0＜a≤．‎ ‎20．已知数列的前项和为，，且，‎ ‎（1）证明：数列是等比数列： （2）求数列的通项公式与前项和.‎ ‎【解析】（1）因为，由已知可得，‎ 因为，故即为常数. 所以是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）由是以为首项，为公比的等比数列.‎ 得，所以. 所以，‎ 12‎ ‎，‎ 所以.‎ 所以. 综上，，.‎ ‎21．函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，‎ 因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，‎ 当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0－1，即m>－2，①‎ 当0e时，f(x)>0. ‎ 当x>0且x→0时，f(x)→0；‎ 当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞. 由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②‎ 由①②可得－2

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