河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试文科数学试卷

河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试文科数学试卷

第 1 页，共 3 页 2019—2020 学年度第二学期下九调考试 高三年级数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若全集 ，集合 ， ，则 为 A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为 i B. C. z 的共轭复数 D. 为纯虚数 3. 中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了 一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图．若规定得分 不低于 85 分的学生得到“诗词达人”的称号，低于 85 分且不低于 70 分 的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号．根据该次比赛的成绩 按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 4. 已知向量 ， ，若 ，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 A. B. C. D. 6. 如图，已知正三棱柱 的底面边长为 1cm，高为 5cm，一质点自 A 点出发，沿着 三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 A. 12 B. 13 C. D. 15 7. 若数列 的前 n 项和为 ，且 ， ， ，则 A. B. C. D. 8. 若双曲线 C： 的右顶点 A 到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的 离心率为 A. B. C. 3 D. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 的 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 ，若 ， 则用“三斜求积”公 式求得 的面积为 A. B. C. D. 2 10. 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 m 和 n，则函数 在 上为增函数的概率是 A. B. C. D. 11. 已知函数 ( ) sin( )( 0,0 )2f x wx w      的图象过两点 、 ， 在 内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 A. B. C. D. 12. 已知 ，设函数 存在极大值点 ，且对于 b 的任意可能 取值，恒有极大值 ，则下列结论中正确的是 A. 存在 ，使得 B. 存在 ，使得 C. a 的最大值为 D. a 的最大值为 第 2 页，共 3 页 第Ⅱ卷（主观题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若 ，则 ______． 14. 已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为______． 15. 已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一 平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 ，则球 O 的体积等于______． 16. 双曲线 的左右焦点分别为 ， ，焦距 2c，以右顶点 A 为圆心， 半径为 的圆与过 的直线 l 相切与点 N，设 l 与 C 交点为 P，Q，若 ，则双 曲线 C 的离心率为______． 三、解答题（共 70 分.第 17～21 题为必考题，第 22、23 为选考题） 17. （12 分）设数列 满足： ，且 ， ． 求 的通项公式； 求数列 的前 n 项和． 18. （12 分）如图，在四棱锥 中，ABCD 为菱形， 平面 ABCD，连接 AC、BD 交于点 O， ， ，E 是棱 PC 上的动点，连接 DE． 求证：平面 平面 PAC； 当 面积的最小值是 4 时，求此时动点 E 到底面 ABCD 的距离． 19. （12 分）某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年 天 内 100 天的空气质量指数 API 的检测数据进行分析，若空气质量指数值在 内为合格，否则 为不合格．表 1 是甲方案检测数据样本的频数分布表，如图是乙方案检测数据样本的频率分布 直方图． 表 1： API 值 大于 300 天数 9 13 19 30 14 11 4 第 3 页，共 3 页 将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中 a 的值，以及乙方案样本的空气质量 不合格天数； 根据如图，求乙方案样木的中位数； 填写下面 列联表 如表 ，并根据列联表判断是否有 的把握认为该城市的空气 质量指数值与两种方案的选择有关． 表 2： 甲方案 乙方案 合计 合格天数 ______ ______ ______ 不合格天数 ______ ______ ______ 合计 ______ ______ ______ 附： k 20. （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l： 与以原 点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切． 求椭圆 C 的方程； 是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点 ，使 成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. （12 分）设函数 其中 ，m，n 为常数 当 时，对 有 恒成立，求实数 n 的取值范围； 若曲线 在 处的切线方程为 ，函数 的零 点为 ，求所有满足 的整数 k 的和． 选做题：共 10 分，请在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： 为参数 ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 已知点 ，直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求 的值． 23. 已知函数 ． 当 时，求不等式 的解集； 设函数 ，当 时， ，求 a 的取值范围．