专题8-7+立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测

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专题8-7+立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章 立体几何 第07节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 ‎(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).‎ ‎2013•新课标I. 18;II.18;‎ ‎2014•新课标I. 19‎ ‎2016•新课标I.18;II.19;III19;‎ ‎2017•新课标I.18;II.19;III19.‎ ‎1.以几何体为载体,考查线线、线面、面面平行垂直证明.‎ ‎2.利用平行、垂直关系及其性质进行适当的转化,处理综合问题.‎ ‎3.备考重点:‎ ‎ (1) 掌握空间向量的坐标运算;‎ ‎(2)掌握平行关系、垂直关系的常见证明方法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 利用空间向量证明平行问题 ‎1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎①直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.‎ ‎②平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 ‎2.用向量证明空间中的平行关系 ‎①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.‎ ‎②设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.‎ ‎③设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.‎ ‎④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.‎ 对点练习:‎ ‎【选自2017天津,理17】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4, AB=2. ‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;‎ ‎【答案】 (Ⅰ)证明见解析 ‎ ‎【解析】如图,以A为原点,分别以,,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).‎ ‎(Ⅰ)证明:=(0,2,0),=(2,0,).设,为平面BDE的法向量,‎ 则,即.不妨设,可得.又=(1,2,),可得.‎ 因为平面BDE,所以MN//平面BDE.‎ ‎2. 利用空间向量证明垂直问题 ‎1. 用向量证明空间中的垂直关系 ‎ ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.‎ ‎ ②设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u.‎ ‎ ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.‎ ‎2.共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),‎ a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).‎ 对点练习:‎ ‎【河南省信阳市期末】已知梯形CEPD如下图所示,其中PD=8‎,CE=6‎,A为线段PD的中点,四边形ABCD为正方形,现沿AB进行折叠,使得平面PABE⊥‎平面ABCD,得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF‎=λAB(0<λ<1)‎时,平面DEF⊥‎平面PCE,则λ的值为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为四边形ABCD为正方形,且平面PABE⊥‎平面ABCD,所以PA,AB,AC两两垂直,且PA//BE,所以建立空间直角坐标系(如图所示),又因为PD=8‎,CE=6‎,所以P‎0,0,4‎,C‎4,4,0‎,E‎4,0,2‎,D‎0,4,0‎,B‎4,0,0‎,‎ 则F‎4λ,0,0‎,DE‎=‎4,-4,2‎,DF=‎4λ,-4,0‎,CE=‎0,-4,2‎,EP=‎‎-4,0,2‎,设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)‎,则由‎{‎m·DE=0‎m·DF=0,‎得‎{‎‎4x-4y+2z=0‎‎4λx-4y=0‎,取m=(1,λ,2λ-2)‎,平面PCE的法向量为n=(x,y,z)‎,则由‎{‎n·CE=0‎n·EP=0,‎得‎{‎‎-4y+2z=0‎‎-4x+2z=0‎,取n=(1,1,2)‎,‎ 因为平面DEF⊥‎平面PCE,所以m·n=1+λ+2‎2λ-2‎=5λ-3=0‎,解得λ=‎‎3‎‎5‎.故选C.‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答题中的一问为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 利用空间向量证明平行问题 ‎【1-1】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.‎ ‎【答案】MN∥平面A1BD.‎ ‎【解析】证明:法一 如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,‎ 法二 =-=-=(-)=,‎ ‎∴∥,又∵MN与DA1不共线,∴MN∥DA1,‎ 又∵MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,‎ ‎∴MN∥平面A1BD.‎ ‎【1-2】(1)如图所示,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点P在棱AA1上,且|AP|=2|PA1|,点S在棱BB1上,且|SB1|=2|BS|,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.‎ ‎【答案】PQ∥RS ‎【解析】证明:方法一,如图所示,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0).∵|AP|=2|PA1|,∴.即=(0,0,2)=(0,0,).‎ ‎∴P点坐标为(3,0,).同理可得Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,).‎ ‎∴.∴∥.又∵R∉PQ,∴PQ∥RS.‎ 方法二:设,则 ,‎ .‎ ,//.又∵R∉PQ,∴PQ∥RS.‎ ‎【领悟技法】‎ 证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【湖北卷】如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.‎ (1) 当时,证明:直线平面.‎ ‎【答案】直线平面.‎ ‎【解析】以为原点,射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系,‎ 由已知得,‎ 所以,,,‎ ‎【变式二】 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证:PB∥平面EFG.‎ ‎【答案】PB∥平面EFG ‎【解析】证明:∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形,‎ ‎∴AB、AP、AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).‎ ‎∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),‎ 设=s+t,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),‎ ‎∴解得s=t=2.‎ ‎∴=2+2,‎ 又∵与不共线,∴、与共面.‎ ‎∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.‎ 考点2 利用空间向量证明垂直问题 ‎【2-1】如图所示,在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤1,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎ (1)求证A1F⊥C1E;‎ ‎ (2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+. ‎ ‎【答案】(1)A1F⊥C1E;(2)=+. ‎ ‎ ‎ ‎(2)=(-x,1,-1),=(-1,1,0),=(0,x,-1),‎ 设=λ+μ,解得λ=,μ=1.‎ ‎∴=+.‎ ‎【2-2】【2017届江西省上饶市二模】如图,在长方体中, ‎ ,点为线段上的动点(包含线段端点),则下列结论正确的__________.‎ ‎①当时, 平面;‎ ‎②当时, 平面;‎ ‎③的最大值为;‎ ‎④的最小值为.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,设,.对于①,当,即,解得, ,设平面的法向量为,则由,解得,由于,所以平面成立.对于②,当时,即,解得,由可知平面成立.对于③,设,即,解得 ,由,其分子化简得,当时, ,故的最大值可以为钝角,③错误.对于④,根据③计算的数据, ,,在对称轴,即时取得最小值为,故④错误.‎ ‎【领悟技法】‎ 1. 证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直,平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.‎ ‎2.要证明两线垂直,需转化为两线对应的向量垂直,进一步转化为证明两向量的数量积为零,这是证明两线垂直的基本方法,线线垂直是证明线面垂直,面面垂直的基础.‎ ‎3.证明线面垂直,可利用判定定理.如本题解法.‎ ‎4.用向量证明两个平面垂直,关键是求出两个平面的法向量,把证明面面垂直转化为法向量垂直.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】 【辽宁卷】如图,和所在平面互相垂直,且, ,E、F分别为AC、DC的中点.‎ (1) 求证:.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而,所以,因此,从而,所以.‎ ‎【变式二】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试】如图5,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)在棱上确定一点,使、、、四点共面,并求此时的长.‎ ‎【答案】(1);(2)故当时,、、、四点共面.‎ ‎【解析】(1)证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、,‎ 所以,,因为,‎ 所以,所以;‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1.已知A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,1,0),D(1,2,0),E(0,0,1),则直线DE与平面ABC(  )‎ A.平行        B.DE⊂平面ABC C.相交 D.平行或DE⊂平面ABC 易错分析:因忽视对位置关系的进一步考查而致错.‎ 正确解析:因为=(-1,1,1),=(1,0,-1),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1) ,‎ 则,‎ 所以解得 所以n=(1,0,1).又=(-1,-2,1),‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC.‎ 因为=(1,1,-1),所以,所以A,B,C,D四点共面,即点D在平面ABC内,所以DE⊂平面ABC.选B.‎ 温馨提醒:当时,DE与平面ABC不一定平行,还有可能在平面内,到底是哪种情形,需要进一步考查方可获知.‎ 易错典例2已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.‎ ‎(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证DE⊥BC1;‎ ‎(2)是否存在点E,使二面角D—BE—A等于60,若存在求AE的长;若不存在,请说明理由.‎ 易错分析:利用空间向量解决存在性问题时,容易出现解题不规范的情况.‎ 正确解析: (1)证明:连结DC1,因为ABC—A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC为正三角形,‎ 又因为D为AC的中点,所以BD⊥AC,‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥DE.‎ 因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,‎ 所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°,在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,所以∠EDC1=90°,即ED⊥DC1,‎ 所以ED⊥平面BDC1,BC1⊂面BDC1,所以ED⊥BC1.‎ ‎(2)假设存在点E满足条件,设AE=h.‎ 取A1C1的中点D1,连结DD1,则DD1⊥平面ABC,所以DD1⊥AD,DD1⊥BD,‎ 分别以DA,DB,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D—xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),E(1,0,h),所以=(0,,0),=(1,0,h),=(-1,,0),=(0,0,h),‎ 设平面DBE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 温馨提醒: 1.对于存在性问题,一般先假设存在,若能求出符合条件的解,则存在,若不能求出符合条件的解,则不存在.2.利用空间向量的方法解立体几何中开放性问题,可以化繁为简,化难为易,降低了思维难度.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 ‎1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决 (当然包括解题)都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂.‎ ‎2. 转化包括等价转化和非等价转化,非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果,非等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带来思维的启迪,找到解决问题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改.‎ 非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常用到,一定要特别重视!‎ ‎3.转化与化归的原则 ‎(1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题;‎ ‎(2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题;‎ ‎(3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决.‎ ‎(4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破的途径;‎ ‎(5)低维度原则:将高维度问题转化成低维度问题.‎ ‎4.转化与化归的基本类型 ‎(1) 正与反、一般与特殊的转化;‎ ‎(2) 常量与变量的转化;‎ ‎(3) 数与形的转化;‎ ‎(4) 数学各分支之间的转化;‎ ‎(5) 相等与不相等之间的转化;‎ ‎(6) 实际问题与数学模型的转化.‎ ‎5.常见的转化方法 ‎(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;‎ ‎(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;‎ ‎(3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;‎ ‎(4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;‎ ‎(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径;‎ ‎(6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;‎ ‎(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题;‎ ‎(8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化;‎ ‎(9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的;‎ ‎(10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集获得原问题的解决.‎ 立体几何中的转化与化归,主要利用直接转化法或坐标法,将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.‎ ‎【典例】【云南大理州宾川县第四高级中学】在边长是2的正方体-中,分别为 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. ‎ ‎ (1)求EF的长 ‎ (2)证明:平面;‎ ‎ (3)证明: 平面.‎ ‎【答案】(1) ‎(2)根据题意,关键是能根据向量法来得到即可。‎ ‎(3)对于题目中,则可以根据线面垂直的判定定理来的得到.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:解(1)如图建立空间直角坐标系 4分 ‎ ‎
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