【推荐】专题06 大题易丢分-2017届高三上学期期末考试数学（理）备考黄金30题

【推荐】专题06 大题易丢分-2017届高三上学期期末考试数学（理）备考黄金30题

‎（范围：高考范围）‎ ‎1．为了了解学生的体能情况，抽取了某学校同年级部分学生作为样本进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第四小组的频数为10．‎ ‎ ‎ ‎（1）求样本容量；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图，估计学生跳绳次数的中位数（保留整数）．‎ ‎【答案】（1）；（2）106.‎ ‎【解析】‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1），．‎ 若，则必须满足解得,‎ 所以的取值范围是．‎ 考点：简易逻辑，不等式的解法 ‎3．已知数列满足.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；‎ ‎（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 由题得， .‎ 由题得，，且数列是等比数列，，‎ ‎∴，，.‎ 又由已知，∴，又 ‎∴的最小值为，此时，即 考点：解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.‎ ‎4．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，∴，‎ 令，则， ‎ ‎、和的变化情况如下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数的极大值为，极小值为； ‎ 考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数研究函数单调性．‎ ‎5．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数 有两个零点，求实数的取值范围，并证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调增区间为，无极值，当时，函数的单调减区间为，增区间为，极小值为；（Ⅱ）；（Ⅲ），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ 当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；‎ 当时，时，，时，，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。 ‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得，，，即当时，最大为1。 ‎ 则， ‎ 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，‎ 即证，设，则只需证明：，‎ 也就是证明：‎ 记，，‎ 在单调递增，‎ ‎，所以原不等式成立，故得证. ‎ 设，则 化简可得，所以函数在单调递增，‎ 时，，，又因为，且函数在单调递减，，，即，所以成立.‎ 考点：导数与单调性、极值，函数与零点. ‎ ‎6．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.‎ ‎（Ⅰ）求角A；‎ ‎（Ⅱ）若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 考点：（1）正弦定理和余弦定理；（2）三角形面积计算公式.‎ ‎7．已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，焦距为4，点是椭圆上一点，满足，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，‎ 由得，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由得，，又，，‎ 则，，‎ ‎，‎ 那么，‎ 则直线过定点 考点：椭圆的简单性质；余弦定理 ‎8．如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆（）的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．当直线斜率为时，．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）以为直径的圆过定点． ‎ 下面给出证明：‎ 考点：1、椭圆的方程；2、椭圆的几何性质；3、圆的方程；4、直线的方程．‎ ‎9．在四棱锥中，底面为正方形，底面，为棱的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：因为底面，所以，‎ 因为，所以面，由于面，所以有；‎ 考点：1．直线与平面所成的角；2．空间向量在立体几何中的应用．‎ ‎10．已知函数,且函数在处的切线平行于直线.‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）若在上存在一点,使得成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的定义域为,函数在处的切线平行于直线..‎ 考点：导数几何意义,利用导数研究不等式存在性问题 ‎11．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．‎ ‎（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；‎ ‎（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；‎ ‎（3）在（2）的条件下，从体重不轻于73公斤（‎ 公斤）的职工中随机抽取两名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 考点：1、系统抽样；2、平均数与方差；3、古典概型.‎ ‎12．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.‎ ‎ ‎ ‎（1）若,求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系 ‎13．已知正项数列的前项和为，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；‎ ‎（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（3）易知，则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②可得： ．‎ 故，所以不等式成立，‎ 若为偶数，则，所以．‎ 考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式．‎ ‎14．如图所示，已知椭圆的方程为，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）若，，点在直线上，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）在椭圆上求点的坐标，使得的面积最大．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 由已知，得，即． ‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 化简，得．② ‎ 由①②，得，即，．，‎ ‎，满足．的方程为．‎ ‎（2）由（1）可知，是定值，当椭圆上的点使得的面积最大时，点到直线 的距离为最大，即点为在直线的下方平行于且与椭圆相切的切点．设平行于 且与椭圆相切的切线方程为，由得 ‎，，，（舍去），‎ 从而，可得的坐标为． ‎ 考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎ ‎15．已知数列满足，，（）．‎ ‎（1）求，，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，当取最大值时，求的值．‎ ‎【答案】（1）,,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）‎ ‎．‎ 结合二次函数的性质可知，当时，取最大值．‎ 考点：隔项成等差数列求和求通项.‎ ‎16．已知，函数．‎ ‎（1）求证：曲线在点处的切线过定点；‎ ‎（2）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：对任意给定的正数 ，总存在，使得在上为单调函数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∴，∴，又，∴ ‎ 考点：导数的应用. ‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（1）当时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若函数在上的最小值记为，请写出的函数表达式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，∴‎ 当时，‎ 曲线在点处的切线方程为即.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性最值 ‎18．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.‎ ‎（1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？‎ ‎（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 考点：频率分布直方图与古典概型．‎ ‎19．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件做为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ ‎ ‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．‎ ‎（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；‎ ‎①；②；‎ ‎③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备 的性能等级．‎ ‎（II）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品 ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．‎ ‎【答案】（I）丙；（II）（ⅰ）；（ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故．‎ 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎20．已知函数，，．‎ ‎（1）当，时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数的图象在两点，处的切线分别为，，若，，且，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）.‎ ‎【解析】‎ 若，则，在上单调递减；‎ 若，则，在上单调递增；‎ 综上，函数的单调减区间是，单调增区间是．‎ ‎（2）当，时，，而，‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 所以函数在上的最小值为，‎ 所以恒成立，解得或（舍去），‎ 又由，解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 由，得，令，则，，‎ 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立，导数几何意义