河南省林州市第一中学2019-2020学年高二3月线上调研考试数学（理）试题（实验班）

河南省林州市第一中学2019-2020学年高二3月线上调研考试数学（理）试题（实验班）

高二本部实验班第二次检测 一、单选题 ‎1.给出下列说法：‎ ‎①命题“若 ，则 ”的否命题是假命题；‎ ‎②命题 ，使 ，则 ；‎ ‎③“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；‎ ‎④命题 “ ，使 ”，命题 “在 中，若 ，则 ”，那么命题 为真命题.‎ 其中正确的个数是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 ‎①项，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”‎ 因为 ，所以否命题是假命题，①项正确；‎ ‎②项，命题 ，使 ，含有一个量词的否定在否定结论的同时，要改变量词的属性，存在量词改为全称量词，则 ，②项正确；‎ ‎③项，充分性：当 时，函数 为偶函数，充分性成立；必要性：若函数 为偶函数，可得 ，必要性不成立，③项错误；‎ ‎④项，命题 “ ，使 ”，因为 ，所以当 时，，即命题 为假命题；‎ 命题 “在 中，若 ，则 ”，根据正弦定理可知 ‎ ，则 ，即 ，所以 为真命题，则命题 为真命题，④项正确.‎ ‎2.用数学归纳法证明“ 能被 整除”的第二步中，当 时，为了使用假设，应将 变形为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 假设 时命题成立，即： 被 整除，当 时， 为： 故答案选B.‎ ‎3.若直线的参数方程为 （ 为参数），则直线 倾斜角的余弦值为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 把直线 的参数方程为化成普通方程为 ，‎ 所以直线 的倾斜角正切为 ，其余弦值为 ，应选B.‎ ‎4.在极坐标系中，曲线 与极轴交于 两点，则 两点间的距离等于（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 化极坐标方程为直角坐标方程得 ，‎ 易知此曲线是圆心坐标为 ，半径为 的圆，计算可得 ．‎ ‎5.方程 的曲线不经过极点，则 的取值范围是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 当 时， ，若此方程无解，由 ，所以当 时，方程无解.‎ ‎6.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，则 的面积为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 由 ，可得 ，焦点 ，‎ 因点 到焦点 的距离为 ，故 点的纵坐标为 ，‎ 可知 点的坐标为 或 ，‎ 所以 .‎ ‎7.设 分别是椭圆 ： 的左右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 A 解 析 因为点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以 ，‎ 因为 ，‎ 所以 .‎ ‎8.直线 绕原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 直线 绕原点逆时针方向旋转 后得直线 ，‎ 所以 ，双曲线 的离心率 .‎ ‎9.函数 ，则 的最大值是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 A 解 析 因为 ，‎ 所以 ‎ ，‎ 当且仅当 时取等号.‎ ‎10.已知 ，则 的正负情况是（    ）‎ A、大于零 B、大于等于零 C、小于零 D、小于等于零 答 案 B 解 析 设 ，所以 ，‎ 根据排序不等式，‎ 又 ，‎ 又 ， ，‎ 所以 .‎ 所以 ，‎ 即 .‎ ‎11.过双曲线 的右焦点 作其渐近线 的垂线，垂足为点 ．若 （ 为坐标原点），则该双曲线的标准方程为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 由题意，得                 解得 所以双曲线 的标准方程为 .‎ ‎12.曲线 上的一点 到直线 的距离的取值范围为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 由 ，得 ，‎ 可知曲线 为椭圆在 轴上方的部分（包括左、右顶点），‎ 作出曲线 的大致图象如图所示，‎ 当点 取左顶点时，所求距离最大，‎ 且最大距离为 ，‎ 当直线 平移至与半椭圆相切时，‎ 切点 到直线 的距离最小，‎ 设切线方程为 ，‎ 联立方程得 ，‎ 消去 ，得 ，‎ 由 ，得 ，所以 ，‎ 由图可知 ，所以最小值为 ，‎ 故所求的取值范围为 .‎ ‎13.在平面直角坐标系中， 为原点， ， ， ，动点 满足 ，则 的取值范围是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 设 ，因为 ，即 两点间的距离为 ，‎ 又 ，利用两点间的距离公式可得 ，‎ 即 在以 为圆心， 为半径的圆上，‎ 可设圆的参数方程为 ， ，‎ 所以 ‎ ， ；‎ 因为 ，所以原式 ，‎ 所以 的取值范围是 .‎ ‎14.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为，点 是抛物线 上的动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 设 为抛物线 的焦点，则 ，‎ 抛物线 准线方程为 ，‎ 因此 到双曲线 上的焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ，‎ 因为 ，所以 ，即 ，‎ ‎∴ ，又，∴ ， ，‎ 即双曲线的方程为 .‎ ‎15.已知定义在 上的函数 满足 ，且 时， 上恒成立，则不等式 的解集为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 由题得 ，‎ 令 ，则 为偶函数，‎ ‎ 时， ，则 ，则 递增，‎ 由 得：‎ ‎ ，即 ，‎ 则 ，所以 .‎ ‎16.若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 由题意，函数的定义域为 ，‎ ‎ 在 上有两个不相等的实数根，‎ 所以 在 上有两个不相等的实数根，令 ，‎ 则 ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，其图象如图所示，‎ 要是 在 上有两个不相等的实数根，则 ，即 ， ，所以实数 的取值范围是 .‎ 二、填空题 ‎17.平面直角坐标系中，若点 经过伸缩变换 后的点为 ，则极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于      ．‎ 答 案 解 析 ‎∵点 经过伸缩变换 后的点为 ，‎ ‎∴极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于 ．‎ ‎18.已知函数 ，若对任意的 ， 都成立，则 的取值范围为      .‎ 答 案 解 析 ‎∵函数 ，‎ ‎∴函数 的最小值为 .‎ ‎∵ 都成立，‎ ‎∴根据绝对值的几何意义得出 ，即 .‎ ‎19.平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： （ 为参数， ）上，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 的极坐标分别为 ， ，且点都在曲线 上，则      .‎ 答 案 解 析 曲线 ： （ 为参数， ）的普通方程为 ，‎ 由点 在曲线 上，得 ，‎ 所以 ，‎ 由 ， ，‎ 得到椭圆的极坐标方程为 ，‎ 即 ，得 ，‎ 依题意，得 .‎ ‎20.已知正实数 满足 ， ，则实数 的取值范围是      .‎ 答 案 解 析 解法一：‎ 由 得 ，‎ 由 得 ，即 ，‎ 由均值不等式 ，所以 ，即 .‎ 解法二：‎ 由 ，‎ 可将 视为方程 的两个正根，‎ 故 ，解得 .‎ 解法三：‎ 由 ，且 ，‎ 设 ， ，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ 三、解答题 ‎21.在平面直角坐标系中，已知曲线 ： （ 为参数）和定点 ， 是曲线 的左、右焦点，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴且取相同单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线 的极坐标方程；‎ 答 案 曲线 ： （ 为参数），可化为 ，‎ 焦点为 和 ．‎ 经过 和 的直线方程为 ，即 ．‎ 又 ， ，‎ 所以直线 的极坐标方程为 ，即 .‎ 解 析 无 ‎(2)经过点 且与直线 垂直的直线 交曲线 于 两点，求 的值.‎ 答 案 由小问1知，直线 的斜率为 ，‎ 因为 ，所以直线 的斜率为 ，即倾斜角为 ，‎ 所以直线 的参数方程为 （ 为参数），‎ 代入曲线 的方程，得 ，‎ 即 ， ．‎ 因为点 在点 的两侧，所以 .‎ 解 析 无 ‎22.已知函数 .‎ ‎(1)当 ， 时，求不等式 的解集；‎ 答 案 不等式 等价于 ，‎ 则当 时， ，解得 ；‎ 当 时， ，即 ，不等式无解；‎ 当 时， ，解得 ，‎ 综上所述，不等式 的解集为 .‎ 解 析 无 ‎(2)若 ， 的最小值为 ，求证： .‎ 答 案 因为 ，所以 ，‎ 所以 ， ，‎ 则 ‎ ，‎ 因为 ，所以 ，‎ 当且仅当 时等号成立.‎ 解 析 无 ‎23.已知函数 .‎ ‎(1)解不等式 ；‎ 答 案 当 时， ，即 ，无解；‎ 当 时， ，即 ，得 ；‎ 当 时， ，即 ，得 .‎ 故所求不等式的解集为 .‎ 解 析 无 ‎(2)若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.‎ 答 案 因为 ，‎ 所以 ，则 ，‎ ‎ .‎ 当且仅当 ，即 时取等号，‎ 故 的最小值为 .‎ 解 析 无 ‎24.已知函数 .‎ ‎(1)讨论 的单调性；‎ 答 案 函数 的定义域为 ， .‎ ‎∵在 上， ，在 上， .‎ ‎∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.‎ 解 析 无 ‎(2)证明： （ ，且 ）.‎ 答 案 由小问1知 ，∴ ，‎ 即 ，当且仅当 时取等号.‎ 从而 ， ， ， ， ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ .‎ 解 析 无