【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十五章推理与证明
第十五章推理与证明
1.[改编题]下面结论正确的个数是( )
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a
0),则1+1t=t,t2 - t - 1=0,取正值得t=5+12.用类似方法可得12+12+12+…= .
考法1合情推理
命题角度1 归纳推理的应用
1[2019湖南省长郡中学模拟]有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,则按照以上规律,若99n=99n具有“穿墙术”,则n=
A.25 B.48 C.63 D.80
观察已知四个等式的特点,即可得出其规律,从而求出n的值.
由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…, …(观察各个等式的特征,根号内与根号外、分子、分母的数字特点)
可得若99n=99n具有“穿墙术”,则n=92 - 1=80.
D
命题角度2 类比推理的应用
2在正项等差数列{an}中有a41+a42+…+a6020=a1+a2+…+a100100成立,则在正项等比数列{bn}中,类似的结论为 .
利用等差数列和等比数列的性质,类比等差数列的结论,即可得等比数列的类似的结论.
由等差数列的性质知,a41+a42+…+a6020=10(a41+a60)20=a1+a1002,a1+a2+…+a100100=50(a1+a100)100=a1+a1002,
所以a41+a42+…+a6020=a1+a2+…+a100100.
在正项等比数列{bn}中,类似的有:
20b41b42b43…b60=20(b41b60)10=20(b1b100)10=b1b100,(“和”类比“积”,“算术平均数”类比“几何平均数”)
100b1b2b3…b100=100(b1b100)50=b1b100,
所以20b41b42b43…b60=100b1b2b3…b100,
所以在正项等比数列{bn}中,类似的结论为20b41b42b43…b60=
100b1b2b3…b100.
考法2演绎推理
3 [2019全国卷Ⅱ,5,5分]在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
解法一 若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;
若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;
若丙预测正确,则甲必预测错误,可得丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.
解法二 看选项,判断有几个人预测正确.
对于选项A,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,则甲对乙错丙错,符合题意;
对于选项B,三人按成绩由高到低的次序为乙、甲、丙,则甲错乙错丙错,不符合题意;
对于选项C,三人按成绩由高到低的次序为丙、乙、甲,则甲错乙对丙对,不符合题意;
对于选项D,三人按成绩由高到低的次序为甲、丙、乙,则甲对乙错丙对,不符合题意.
A
本题将数学知识与“一带一路”结合,让考生感觉到数学来源于生活.主要考查推理判断能力,考查了逻辑推理等核心素养.题目虽有一定难度,但由于这是一道选择题,若能用解法二去判断,便可轻松破解.
1.[2017全国卷Ⅱ,7,5分][理]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
考法3直接证明
4已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥13.
利用基本不等式进行整理变形,然后利用x+y+z=1即可得证.
∵ x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,
∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,
∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.
∵ x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,
∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥13.
综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件,经过推理论证推导出正确结论,属于由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,只有保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确.
2.设不等式||x+1| - |x - 1||<2的解集为A.
(1)求集合A.
(2)若a,b,c∈A,求证:|1-abcab-c|>1.
考法4间接证明
5已知函数f (x)=ax+sin b - 3x+1(a,b∈R,且a>1)的图象过点(0, - 1).
(1)证明:函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明:函数f (x)没有负零点.
(1)利用函数f (x)的图象过点(0, - 1),求出sinb的值.欲证函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数,只需证在( - 1,+∞)上,f ' (x)>0即可.(2)假设函数f (x)有负零点x0,
利用函数的单调性得出矛盾,即可说明假设不成立,从而证出函数f (x)没有负零点.
(1)由于函数f (x)=ax+sinb - 3x+1(a,b∈R,且a>1)的图象过点(0, - 1),
所以f (0)= - 1,即a0+sinb - 30+1= - 1,解得sinb=1,
所以f (x)=ax+1 - 3x+1(a>1),
所以f ' (x)=axlna+3(x+1)2(x≠ - 1),
所以当x∈( - 1,+∞)时,f ' (x)>0,
故函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数.
(2)解法一 假设函数f (x)有负零点x0,(“没有”的反面是“有”,注意不要漏掉“负”字)
则f (x0)=0,故ax0+1=3x0+1 ①.(研究等式①是否成立)
由于函数y=ax+1(a>1)在R上是增函数,且a0+1=2,
所以ax0+1<2.(判断等式①左边的取值范围)
由于函数y=3x+1在( - 1,+∞)上是减函数,
当x0∈( - 1,0)时,3x0+1>3,(判断等式①右边的取值范围)
所以当x0∈( - 1,0)时,等式①不可能成立.
由于函数y=3x+1在( - ∞, - 1)上是减函数,
当x0∈( - ∞, - 1)时,3x0+1<0,
而当x0∈( - ∞, - 1)时,ax0+1>1,所以等式①不可能成立.
综上可得,等式①不可能成立,即假设错误,故函数f (x)没有负零点.
解法二 假设函数f (x)有负零点x0,则f (x0)=0,故ax0+1=3x0+1.
由于函数y=ax+1(a>1)在R上是增函数,且a0+1=2,所以ax0+1<2,所以1<ax0+1<2,
所以1<3x0+1<2,解得12<x0<2,与x0<0相矛盾.
故假设不成立,即函数f (x)没有负零点.
考法5数学归纳法的应用
6 [2015江苏,23,10分][理]已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f (n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f (6)的值;
(2)当n≥6时,写出f (n)的表达式,并用数学归纳法证明.
(1)f (6)=6+4+3=13.
(2)当n≥6时,f (n)=n+2+(n2+n3),n=6t,n+2+(n-12+n-13),n=6t+1,n+2+(n2+n-23),n=6t+2,n+2+(n-12+n3),n=6t+3,n+2+(n2+n-13),n=6t+4,n+2+(n-12+n-23),n=6t+5(t∈N*).
下面用数学归纳法证明:
①当n=6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立;(根据题意,n从6开始)
②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论.(注意讨论时要用到归纳假设)
a.若k+1=6t,则k=6(t - 1)+5,此时有
f (k+1)=f (k)+3=k+2+k-12+k-23+3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;
b.若k+1=6t+1,则k=6t,此时有
f (k+1)=f (k)+1=k+2+k2+k3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;
c.若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有
f (k+1)=f (k)+2=k+2+k-12+k-13+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;
d.若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有
f (k+1)=f (k)+2=k+2+k2+k-23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;
e.若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有
f (k+1)=f (k)+2=k+2+k-12+k3+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,结论成立;
f.若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有
f (k+1)=f (k)+1=k+2+k2+k-13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.
综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.
1.B (1)错误,综合法和分析法都是直接证明;(2)错误,寻找的是使结论成立的充分条件;(3)错误,应假设“a≤b”;(4)错误,反证法是只否定结论,推出矛盾;(5)(6)正确.
2.B 解法一 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近,故头顶至脖子下端的长度26 cm可近似认为是头顶至咽喉的长度.根据最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5 - 12,且5 - 12≈0.618,可计算出咽喉至肚脐的长度约为26÷0.618≈42(cm).
将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度,约为68 cm,根据头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 - 12,且5 - 12≈0.618,可计算出肚脐至足底的长度约为68÷0.618≈110(cm).
将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加,可得到身高约为178 cm,与175 cm最接近,故选B.
解法二 直接将腿长105 cm近似看作肚脐至足底的长度,则有26+26÷0.618+105≈173(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.
【素养落地】 本题以著名雕塑“断臂维纳斯”为背景,借助人体包含的黄金分割比例,主要考查演绎推理,体现数学之美.
3.D 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.
4.D 解法一 因为甲、乙的陈述都只对了一半,所以若乙的陈述中,“甲走桃花峪登山线路”正确,则甲的陈述全部错误,与题意不符,故乙的陈述中,“甲走桃花峪登山线路”不正确,“丙走红门盘道徒步线路”正确,故甲的陈述中,“乙走桃花峪登山线路”正确,丙的陈述中,“甲走天烛峰登山线路”正确,故选D.
解法二 若A选项正确,由甲的陈述得,“甲走红门盘道徒步线路”错误,“乙走桃花峪登山线路”正确,此时甲和乙都走桃花峪登山线路,与“三人走的线路均不同”矛盾,所以A选项错误.
若B选项正确,由甲的陈述得,“乙走桃花峪登山线路”错误,“甲走红门盘道徒步线路”正确,此时甲与乙都走红门盘道徒步线路,与“三人走的线路均不同”矛盾,所以B选项错误.
若C选项正确,由甲的陈述得,“乙走桃花峪登山线路”错误,“甲走红门盘道徒步线路”正确.再由乙的陈述得,“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确,与“丙走桃花峪登山线路”矛盾,所以C选项错误.
若D选项正确,由甲的陈述得,“甲走红门盘道徒步线路”错误,“乙走桃花峪登山线路”正确,再由乙的陈述得,“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确,由丙的陈述得,“乙走红门盘道徒步路线”错误,此时满足甲、乙、丙三人的陈述都只对一半.故选D.
【方法点拨】 逻辑推理问题常用代入法或反证法,根据推理是否出现矛盾,判断各选项是否正确.
5.4 根据已知代数式的求值方法,令12+12+12+…=m(m>0),两边平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m2,解得m=4.
1.D 依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就可以知道自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩.
2.(1)由已知,令f (x)=|x+1| - |x - 1|=2,x≥1,2x, - 11,只需证|1 - abc|>|ab - c|,
只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1 - a2b2>c2(1 - a2b2),
只需证(1 - a2b2)(1 - c2)>0.
由a,b,c∈A,得a2b2<1,c2<1,
所以(1 - a2b2)(1 - c2)>0恒成立.
综上所述,|1 - abcab - c|>1.