2019-2020学年福建省莆田市第六中学高一上学期期中数学试题(A卷)（解析版）

2019-2020学年福建省莆田市第六中学高一上学期期中数学试题(A卷)（解析版）

‎2019-2020学年福建省莆田市第六中学高一上学期期中数学试题(a卷)‎ 一、单选题 ‎1．下列函数中，与函数为相同函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断函数的定义域和表达式，与函数作比较判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ 定义域为 A. 定义域为，不相同；B. ，表达式不相同；‎ C. ，定义域为，是相同函数； D. 定义域为，不相同；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别计算得到，，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的计算，属于简单题.‎ ‎3．已知函数是定义域为的偶函数，则的值为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数是定义域为的偶函数，故 ‎ 函数是偶函数，故奇次项系数为0.即此时。‎ 故答案为B。‎ ‎4．三个数，，之间的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，，所以.‎ ‎【考点】比较大小．‎ ‎5．设函数与的图象交点为,则所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可令，即，设，利用零点存在性定理，说明零点所在的区间.‎ ‎【详解】‎ 令，即 ‎ 设，，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，‎ 在区间必存在，使,‎ 即函数与的图象交点所在的区间.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题考查零点所在区间的求法，主要考查基本概念和计算，属于简单题型.‎ ‎6．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的形式和图象，分和两种情况去绝对值，判断选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 当时，‎ 只有D满足条件.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.‎ ‎7．设，且，则 ( )‎ A． B．10 C．20 D．100‎ ‎【答案】A ‎【解析】将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎8．已知函数, 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据在上递增列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于在上递增，所以，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9．设,若,则（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.‎ ‎【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．‎ ‎10．某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：‎ ‎（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；‎ ‎（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；‎ ‎（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.‎ 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）‎ A．550元 B．560元 C．570元 D．580元 ‎【答案】C ‎【解析】先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；‎ 若第二次购物超过500，则付款大于，故第二次购物不超过500元；‎ 第二次购物 合计 ‎ 付款为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11．设表示三者中较小的一个，若函数，则当时，的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数的图象如图所示，‎ 结合图象可得。‎ 由图象可得，当时，的值域是。选C。‎ 点睛：‎ 用图象表示函数，增加了直观性和形象性，借助函数的图象解决函数的有关问题，体现了数形结合在数学中的应用，同时为问题的解决带来方便。函数图象的应用主要是利用图象研 究函数的性质、最值等问题，考查解决方程的根、解不等式、求参数等问题的能力。‎ ‎12．设为大于1的常数，函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知方程解得或，若满足方程有3个不同的解，根据图象可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图，先画出函数的图象，‎ 由已知，解得：或 ‎ 当时，，1个解，‎ 当时，需有2个解，如图，.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程实根个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域是________________________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】直接利用函数定义域的定义得到不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域满足： 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14．已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求函数，再求，利用复合函数单调性的判断方法求函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知 ‎ ‎ ，‎ 函数拆分成内外层函数，，‎ 外层函数，是单调递减函数，若求函数的单调递增函数，‎ 只需满足 ，解得：，‎ 函数的单调递减区间是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数单调区间的求法，对于复合函数，首先拆分成内外层函数，再根据“同增异减”的判断方法求单调区间，本题的易错点是容易忘记函数的定义域.‎ ‎15．当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%．利用参考数据：，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_______________________年（精确到1年）．‎ ‎【答案】4966．‎ ‎【解析】根据题意得到方程，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设时间为，根据题意知：‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16．给出下列结论：‎ ‎①，的值域是；‎ ‎②幂函数图象一定不过第四象限；‎ ‎③函数的图象过定点；‎ ‎④若，则的取值范围是；‎ ‎⑤若,则.‎ 其中正确的序号是_______________.‎ ‎【答案】②④⑤.‎ ‎【解析】根据函数的性质，逐一判断选项，得到正确答案.‎ ‎①直接根据二次函数求值域；②根据幂函数的图象特征直接判断；③利用，求定点；④分和两种情况解不等式；⑤原不等式变形为，，通过构造函数，利用函数的单调性得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎①当函数单调递减，函数单调递增，函数的最小值，函数的最大值，所以函数的值域是，故①不正确；‎ ‎②幂函数一定不过第四象限，②正确；‎ ‎③因为，所以函数一定过定点，故③不正确；‎ ‎④当时，不成立，‎ 当时，，即，故④正确；‎ ‎⑤原不等式变形为，，‎ 设函数，函数在单调递减，由，，‎ 变形为，所以，即，故⑤正确.‎ 故答案为：②④⑤‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数性质的综合判断题型，意在考查分析问题和解决问题的能力，本题判断的难点是第五个选项，通过构造函数，利用函数的单调性判断自变量的大小.‎ 三、解答题 ‎17．（1）计算：；‎ ‎（2）已知（且），若，求的值．‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用对数的计算法则得到答案.‎ ‎（2）先计算，再得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2），，‎ 又，即，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．已知函数的图象过点．‎ ‎（1）求实数的值，并求的定义域和值域；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎【答案】（1），定义域为，的值域为（2）或 ‎【解析】（1）将代入函数解得，再计算得到定义域，最后计算值域得到答案.‎ ‎（2）根据题意得到得到不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，所以，‎ 所以，由得或，‎ 则的定义域为，‎ 因为，所以的值域为．‎ ‎（2）不等式，‎ 所以 解得或 所以不等式的解集为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19．已知函数是偶函数．‎ ‎(1)求的值； (2)若方程有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2)．‎ ‎【解析】试题分析：(1)由函数是偶函数 ‎ ‎；(2)由 ‎ ‎.‎ 试题解析: (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－． ‎ ‎(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋),∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．‎ 故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．‎ ‎20．设函数，‎ ‎(1)用定义证明：函数是R上的增函数；‎ ‎(2)证明：对任意的实数t，都有； ‎ ‎(3)求值：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）9.5‎ ‎【解析】（1）设，计算，判断，判断函数是单调递增函数；‎ ‎（2），再变形计算求值；‎ ‎（3）根据（2）的结果，计算求值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：设任意，‎ 则 又 ‎∴在R上是增函数 ‎（2）对任意t,‎ ‎∴对于任意t, ‎ ‎（3）∵由（2）得 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定义法证明函数单调性，以及指数幂的综合运算，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.‎ ‎21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数，是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性；‎ ‎（3）若且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 （3）‎ ‎【解析】（1）利用，计算实数的值；‎ ‎（2）由（1）可知，首先判断内层函数的单调性，再讨论，判断函数的单调性；‎ ‎（3）由，确定的范围，然后根据函数是奇函数，不等式变形为，根据函数的单调性和定义域，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是在上的奇函数，所以，即，‎ 所以，‎ 则，‎ 即对定义域中的都成立，所以，‎ 又，所以 ‎ ‎（2）所以，‎ 设，‎ 设，则 ‎ ‎ ，‎ ‎. ‎ 当时，，即. ‎ 当时，在上是减函数.‎ 当时，，即. ‎ ‎∴当时，在上是增函数. ‎ ‎（3）由得，‎ 函数是奇函数， ‎ ‎， ‎ 由（2）得在上是增函数 ‎ ‎ 的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数型复合函数的性质和性质的综合应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题第三问利用函数的单调性解不等式时，一定得变形为的形式，列不等式时，不要忘记函数的定义域.‎