高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）

高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）

微专题 50 等比数列性质 一、基础知识 1、定义：数列 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数 ，则称 为等比数列，这个常数 称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为 的等比数列，而常数列 只是等差 数列 2、等比数列通项公式： ，也可以为： 3、等比中项：若 成等比数列，则 称为 的等比中项 （1）若 为 的等比中项，则有 （2）若 为等比数列，则 ， 均为 的等比中项 （3）若 为等比数列，则有 4、等比数列前 项和公式：设数列 的前 项和为 当 时，则 为常数列，所以 当 时，则 可变形为： ，设 ，可得： 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列 ，则有 ① 数列 （ 为常数）为等比数列 ② 数列 （ 为常数）为等比数列，特别的，当 时，即 为等比数列 ③ 数列 为等比数列  na  0q q   na q 1q  0,0,0, 1 1 n na a q   n m n ma a q   , ,a b c b ,a c b ,a c 2a b b acb c    na n N   1na  2,n na a   na m n p qm n p q a a a a     n  na n nS 1q   na 1nS na 1q   1 1 1 n n a q S q     1 1 11 1 1 1 n n n a q a aS qq q q       1 1 ak q  n nS k q k    na    ,n na b  nka k  na  1   1 na        n na b ④ 数列 为等比数列 6、相邻 项和的比值与公比 相关： 设 ，则有： 特别的：若 ，则 成等比数列 7、等比数列的判定：（假设 不是常数列） （1）定义法（递推公式）： （2）通项公式： （指数类函数） （3）前 项和公式： 注：若 ，则 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于 ，均有 8、非常数等比数列 的前 项和 与 前 项和 的关系 ， 因 为 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 所 以 有 例 1：已知等比数列 的公比为正数，且 ，则 ________ 思路：因为 ，代入条件可得： ，因为 ，所以 ，  na k q 1 2 1 2,m m m k n n n kS a a a T a a a                  2 1 2 2 1 2 k m n mm m m k m k n n n k nn a q q qS a a a a qT a a a aa q q q                       1 2 1 2 2 2, ,k k k k k k ka a a S a a a S S           2 1 2 2 3 3 2 ,k k k k ka a a S S       2 3 2, , ,k k k k kS S S S S    na  1n n a q n Na    n na k q  n n nS kq k   n nS kq m m k    na n N   2 1 2n n na a a   na n nS 1 na       n nT  1 1 1 n n a q S q    1 na       1 1 a 1 q   1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 n n nn n n q a q qqT q a q qaq q                   1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n nn n n a q a q qS a qT q q        na 2 2 3 9 51, 2a a a a  10a  2 3 9 6a a a 2 2 6 52a a 0q  6 52a a 2q  所以 答案： 例 2：已知 为等比数列，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路一：由 可求出公比： ，可得 ，所以 思路二：可联想到等比中项性质，可得 ，则 ，由等比数列特征可得奇 数项的符号相同，所以 答案：D 小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。 例 3：已知等比数列 的前 项和为 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前 项和为 的形式，所 以 ，即 答案：A 例 4：设等比数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：由 可得： ，可发现只有分子中 的 指数幂不同，所以作商消去 后即可解出 ，进而可计算出 的值 解： ，解得： 8 10 2 16a a q  16  na 3 74, 16a a    5a  64 64 8 8 3 7,a a 4 7 3 4aq a  2 2q  2 5 3 4 2 8a a q      2 5 3 7 64a a a  5 8a   5 8a   na n 12 1n nS t    t 2 1 2 0.5 n n nS kq k  12 1 2 12 n n n tS t       1 22 t t      na n nS 10 5: 1: 2S S  15 5:S S  3 4 2 3 1 2 1 3  1 1 1 n n a q S q       10 5 1 1 10 5 1 1 ,1 1 a q a q S Sq q      q 1a q 15 5:S S    10 5 1 1 10 5 1 1 ,1 1 a q a q S Sq q      10 510 5 5 1 111 2 S q qS q      5 1 2q   所以 答案：A 例 5：已知数列 为等比数列，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 与 条 件 联 系 ， 可 将 所 求 表 达 式 向 靠 拢 ， 从 而 ，即所求表达式的 值为 答案：C 例 6：已知等比数列 中 ，则其前 5 项的和 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 条 件 中 仅 有 ， 所 以 考 虑 其 他 项 向 靠 拢 ， 所 以 有 ，再求出其 值域即可 解： ，设 ，所以 答案：A 例 7：已知数列 是首项不为零的等比数列，且公比大于 0，那么“ ”是“数列 是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件     3 15 15 115 55 5 1 1 911 1 1 32 8 311 1 41 1 22 a qS q q S q qa q                      na 4 6 10a a   7 1 3 3 92a a a a a  10 20 100 200 4 6 10a a  4 6,a a    22 2 7 1 3 3 9 7 1 7 3 3 9 4 4 6 6 4 62 2 2a a a a a a a a a a a a a a a a a          100  na 3 1a  5S  1, 5 ,4      5,    ,0 5,  3a 3a 2 2 23 3 5 3 3 32 2 1 1 1 11 1a aS a a q a q q q q qq q q q q q                         2 23 3 5 1 2 3 4 5 5 3 3 32 2 1 1 1a aS a a a a a S a a q a q q qq q q q                21 1 1q qq q               1t q q     , 2 2,t     2 2 5 1 51 2 4S t t t           5 1,S    na 1q   na C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：在等比数列中，数列的增减受到 的符号，与 的影响。所以在考虑反例时可从这两 点入手。将条件转为命题：“若 ，则数列 是递增数列”，如果 ，则 是递 减数列，所以命题不成立；再看“若数列 是递增数列，则 ”，同理，如果 ， 则要求 ，所以命题也不成立。综上，“ ”是“数列 是递增数列”的既不充 分也不必要条件 答案：D 例 8：在等比数列 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 解 ： 条 件 与 结 论 分 别 是 的 前 项 和 与 倒 数 和 ， 所 以 考 虑 设 ，则 所以 答案：B 例 9：已知等比数列 中，各项都是正数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：所求分式中的分子和分母为相邻 4 项和，则两式的比值与 相关，所以需要求出 。由 条件 ，将等式中的项均用 即可求出 。从而解得表达式的值 解： 成等差数列 将 代入等式可得： ，而 为正项数列，所以 不符题意，舍去 1a q 1q   na 1 0a   na  na 1q  1 0a   0,1q 1q   na  na 1 2 3 4 2 3 15 9,8 8a a a a a a      1 2 3 4 1 1 1 1 a a a a    5 3 5 3 3 5 3 5  na 4 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 1 1 1,S a a a a T a a a a           2 3 24 1 1 1 2 3 4 9 8 S a q a q a q a aT       4 4 5 9 3 8 ST      na 3 1 22a a a  9 10 11 12 7 8 9 10 a a a a a a a a       1 2 1 2 3 2 2 3 2 2 q q 3 1 22a a a  1,a q q 1 3 2 1, ,22a a a 3 1 2 12 22 a a a    2 3 1 2 1,a a q a a q  2 2 1 1 12 2 1 0a q a a q q q      2 2 2 1 22q      na 1 2q   答案：C 例 10 ： 在 正 项 等 比 数 列 中 ， ， 则 满 足 的最大正整数 的值为____________ 思路：从已知条件入手可求得 通项公式： ，从而所满足的不等式可变形为关于 的 不 等 式 ： ， 由 的 指 数 幂 特 点 可 得 ： ，所以只需 ，从而解出 的最大值 解：设 的公比为 ，则有 解得： （舍）或 所以所解不等式为： 可解得： 的最大值为 答案： 三、历年好题精选（等差等比数列综合） 1 2q         2 3 29 29 10 11 12 2 3 7 8 9 10 7 1 1 2 3 2 2 1 a q q qa a a a qa a a a a q q q                  na 5 6 7 1 , 32a a a   1 2 1 2n na a a a a a        n na 62n na  n 2 11 522 1 2 n n n     2  2 2 2 1 2 , ,n m n m m n N n m      2 11 10 22 2 n n n    n  na q 2 6 7 5 53 3a a a q a q     21 1 32 2q q   3q   2q  5 6 5 2n n na a q        1 1 2 2 1 1 2 12 1 32 n n n a a a a             11 5 4 6 2 1 2 2 2 n n n na a a                211 11 52 21 2 1 2 2 1 232 n n n n n n         2 11 10 2 22 11 102 2 13 10 02 n n n n nn n n            13 1290 2n   n N  n 12 12 1、已知正项等比数列 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 2、已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，其前 项和为 ，若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称，则 （ ） A. B. C. D. 3、（2016，内江四模）若 成等比数列，则下列三个数：① ② ③ ，必成等比数列的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4、设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 ， ，…， 中最 大的项为（ ） A. B. C. D. 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 前 项和，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6、（2015，北京）设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 7、（2015，广东）在等差数列 中，若 ，则 ______ 8、（2014，北京）若等差数列 满足 ，则当 ______时， 的前 项和最大 9、（2015，福建）若 是函数 的两不同零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）  na 5 4 3 2 5a a a a    6 7a a 32 10 10 2 20 28  na 1a d n nS 1y a x  2 22 4x y   0x y d   5S  25 25 15 15 dcba ,,, dccbba  ,, cdbcab ,, dccbba  ,,  na n nS 15 0S  16 0S  1 1 S a 2 2 S a 15 15 S a 6 6 S a 7 7 S a 9 9 S a 8 8 S a  na 0d  1 3 13, ,a a a 1 1a  nS  na n 2 16 3 n n S a   3 4 2 3 2 9 2  na 1 2 0a a  2 3 0a a  1 3 0a a  1 2 0a a  1 20 a a  2 1 3a a a 1 0a    2 1 2 3 0a a a a    na 3 4 5 6 7 25a a a a a     2 8a a   na 7 8 9 7 100, 0a a a a a     n   na n ,a b    2 0, 0f x x px q p q     , , 2a b  p q A. B. C. D. 10、已知 是等差数列，公差 ，其前 项和为 ，若 成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 11、（2014，广东）若等比数列 各项均为正数，且 ，则 12、（2014，安徽）数列 是等差数列，若 构成公比为 的等比数列， 则 _______ 13、（2014，新课标全国卷 I）已知数列 的前 项和为 ， ， 其中 为常数 （1）证明： （2）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由 14、（2016，河南中原第一次联考）已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 15、设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 中最大的 项为（ ） A. B. C. D. 16、（2014，湖北）已知等差数列 满足： ，且 成等比数列 （1）求数列 的通项公式 （2）记数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由 6 7 8 9  na 0d  n nS 3 4 8, ,a a a 1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS   na 5 10 11 9 12 2a a a a e   na 1 3 51, 3, 5a a a   q q   na n 1, 1, 0n nS a a  1 1n n na a S    2n na a      na nS  na n 3 7 37S S  3 1119a a  47 73 37 74  na n nS 15 160, 0S S  1 2 15 1 2 15 , , ,S S S a a a 7 7 S a 6 6 S a 9 9 S a 8 8 S a  na 1 2a  1 2 5, ,a a a  na  na n nS n 60 800?nS n  n 习题答案： 1、答案：C 解 析 ： 设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 由 已 知 可 得 ， 则 有 ，所以 ， 等号成立当且仅当 2、答案：C 解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与 垂直，所以 ；② 直线 为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标： ，代入 可得： ，所以 ， 3、答案：B 解析：本题从“等比数列中不含 0 项”入手，不妨设 的公比为 ，可得①中若公比 ，则无法构成等比数列，同理③中若 ，则无法构成等比数列；对于②可知均能构 成公比为 的等比数列 4、答案：D 解析： ，可得在 中， 且 最大。所以可知 ，从而 最大 5、答案：A 解析：设公差为 ，因为 成等比数列 解得： q 1q    2 5 4 3 2 3 25 1 5a a a a q a a           4 4 2 2 6 7 3 2 2 2 2 5 1 15 1 10 5 2 1 10 201 1 1 qa a q a a q qq q q                     2 2 11 21q qq    0x y d   1 1a  0x y d    2,0 2d    1 1 3 2na a n d n     5 15S   dcba ,,, q 1q   1q  2q 15 8 8 16 8 9 9 0 15 0 0 0 0 0 S a a S a a a              na 1 0, 0a d  8S 1 2 8 1 2 80 , 0S S S a a a         8 8 S a d 1 3 13, ,a a a    22 3 1 11 1 1 12 12a a a a d a a d      21 4 4 1 12d d d     2d   1 1 2 1na a n d n      2 nS n ，令 6、答案：C 解 析 ： A 选 项 ： 反 例 为 公 差 小 于 0 ， 且 的 数 列 ， 例 如 ： ，所以 A 错误 B 选项：同 A 中的例子即可判定 B 错误 C 选项：由 可知 ，且 ，则 ，再将 统一 用 表示，即 ，所以 C 正确 D 选项：由等差数列可得： ，所以 D 错误 综上所述：C 选项正确 7、答案：10 解析： ，可得 ，所以 8、答案：8 解析：由 可得： ，由 可得 ，从而 ，由此可知数列 前 8 项为正项，且数列单调递减，从第 9 项开始为负项，所以前 8 项和最大 9、答案：D 解析：由韦达定理可知 ，且由 可知 ，因为 可构成等 比数列，所以 必为等比中项， ，即 ，所以 构成等差数列， 同样由 判断出则等差中项只能是 或 ，所以有 或 ，解得 或 ，则 ，所以 2 22 16 2 16 2 16 3 2 1 3 2 2 n n S n n a n n        1t n  2 16 9 92 2 2 43 n n S t ta t t         1 2 1 20, 0,a a a a   1 2 33, 1, 5a a a     1 20 a a  0d  0na  2 2 1 3 2 1 3a a a a a a   1 3,a a 2 ,a d    2 2 2 1 3 2 2 2 2a a a d a d a d a         2 2 1 2 3 0a a a a d     3 4 5 6 7 55 25a a a a a a      5 5a  2 8 52 10a a a   7 8 9 0a a a   8 83 0 0a a   7 10 0a a  8 9 0a a  9 0a   na ,a b p ab q   , 0p q  , 0a b  , , 2a b  2  22 4ab    4 4 q b a   4, , 2a a  4, 0a a  a 4 a 42 2a a  8 2aa   4 1 a b    1 4 a b    5p a b   9p q  10、解析： 成等比数列 综上所述： 11、答案：50 解析：由 可得 ，从而 ，因为 为等比数列，所以 为等差数列，从而有： 12、答案：1 解析：方法一：设 的公差为 ，由 成等比数列可得： 方 法 二 ： 由 等 比 数 列 性 质 可 知 ： ， 由 合 比 性 质 可 得 ： 13、解析：（1） 3 4 8, ,a a a     22 4 3 8 1 1 13 2 7a a a a d a d a d       2 2 2 2 1 1 1 16 9 9 14a a d d a a d d      1 5 3a d   2 1 5 03a d d    4 1 4 3 20 24 62 3 3S a d d d d       2 4 2 03dS d    1 40, 0a d dS  5 5 10 11 9 12 10 112 2 2a a a a e a a e    5 10 11a a e 10 11ln ln 5a a   na  ln na 10 11 1 2 20 ln lnln ln ln 20 502 a aa a a        na d 1 3 51, 3, 5a a a       2 2 3 1 5 3 3 1 5 1 53 1 5 6 9 5 5a a a a a a a a a                  2 1 1 1 1 1 12 6 2 9 4 5 4 5a d a d a a d a a d           2 2 2 1 1 1 1 1 14 4 6 12 9 4 6 4 5a a d d a d a a d a d           24 8 4 0 1d d d       3 1 1 1 3 2 3 11 1 a aq a a        3 5 1 3 3 5 1 3 a a qa a             5 3 3 1 5 3 2 2 13 1 2 2 a a dq a a d          1 1n n na a S   ，即 （2）由题设可得： 由（1）可得： 若 为等差数列，则 解得： 下面验证 是否能让 为等差数列 由（1）可得： 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 是首项为 ，公差为 4 的等差数列 且 为公差是 2 的等差数列 14、答案：D 解析： 15、答案：D 解析： ，所以 ，所以可得在 中， 最大，在 中， 是最小的正数。所以 最大 1 1 1n n na a S     1 1 1n n n n n n na a a a S S a        0na  1 1n na a     2n na a    1 2 1 1a a S  1 1a  2 1a    3 1 1a a       na    2 1 32 2 1 1 1a a a         4  4   na  2 1na   2 1 1 4 1 4 3na a n n       2na 2 3a   2 2 4 1 4 1na a n n      2 2 1 2n na a    2 1 2 2n na a    na 4  3 7 1 1 13 3 7 21 10 24 37S S a d a d a d           3 11 1 1 1 119 19 2 10 20 48 2 10 24 74a a a d a d a d a d            15 8 16 8 915 0, 8 0S a S a a     8 8 8 9 9 0 0 0 0 a a a a a        nS 8S na 8a 8 8 S a 16、解析：（1）设 的公差为 成等比数列 或 当 时，可得 当 时， 或 （2）当 时， ，故不存在符合条件的 当 时， 令 解得 或 （舍） ，即 的最小值为 综上所述：当 时，不存在符合条件的 ；当 时， 的最小值为  na d 1 2 5, ,a a a    22 2 2 1 5 1 1 1 14 2a a a a d a a d d a d        0d  12 4d a  0d  2na  4d   1 1 4 2na a n d n     2na  4 2na n  2na  2 60 800nS n n   n 4 2na n  21 22 n n a aS n n   2 22 60 800 30 400 0n n n n      40n  10n   40n  n 41 2na  n 4 2na n  n 41