湖南省常德市第二中学2020届高三临考冲刺数学（文）试题
常德市第二中学2020届高三临考冲刺卷
文科数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，复数z=对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知集合P={－1,2a+1,a2－1}，若0∈P，则实数a的取值集合为
A. B. C. D.
3. 为庆祝建国70周年，某校举办“唱红歌，庆十一”活动，现有A班3名学生，B班2名学生，从这5名学生中选2人参加该活动，则选取的2人来自不同班级的概率为
A. B. C. D.
4. 已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若F2到双曲线的渐近线的距离为，离心率e∈(2,+∞)，则焦距|F1F2|的取值范围是
A.(2,4) B.(3,4) C.(0,4) D.(2,4)
5. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为
A.25 B.56 C.119 D.246
6. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P－ABCD中最长的棱，AB=1，AD=2，PC=3，若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为
A. B. C. D.
7. 设a=sin(－810°)，b=tan(－)，c=lg ，则它们的大小关系为
A.a
0，|φ|<)的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，若函数g(x)的最小正周期为π，x=为函数g(x)的一条对称轴，则函数g(x)的一个增区间为
A.(0，) B.(，π) C.(，) D.(，)
12. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，若
Sn＜λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，cos(α－β)＝________.
14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
由散点图(图略)可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝________.
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为________.
16.已知正四面体P－ABC的棱长均为a，O为正四面体P－ABC的外接球的球心，过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P－ABC，得到三棱锥P－A1B1C1和三棱台ABC－A1B1C1，那么三棱锥P－A1B1C1的外接球的表面积为________.
三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1·，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量(单位：克)分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样的方法从质量为[250,300)，[300,350)内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；
(2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：
A方案：所有芒果以10元/千克收购；
B方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
19.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF＝90°，∠BDE＝θ(0°<θ<90°).
(1)当tan∠DEF＝时，求θ的大小；
(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.
20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|＝|PN|.求直线AB的斜率.
21.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin＝，l与x轴交于点M.
(1)求l的直角坐标方程和点M的极坐标；
(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值.
23.[选修4－5：不等式选讲]
设函数f(x)＝|x－a|.
(1)若关于x的不等式f(x)＋b<0的解集为(－1，3)，求a，b的值；
(2)若g(x)＝2f(x)＋2f(x＋1)，求g(x)的最小值.
常德市第二中学2020届高三临考冲刺卷
文科数学答案
1. D =－i，对应点的坐标为(,－)位于第四象限.
2. C 当2a+1=0时，a=－满足；当a2－1=0时，a=±1，经检验a=1满足，即a∈.
3. A 将A班学生编号为a,b,c,B班学生编号为d,e.则选取两人有(a,b)，(a,c)， (a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d, e)共10 种选法，满足条件的有6种，所以概率为.
4. D 因为F2到双曲线的渐近线y=±x的距离为=b，b=，又>2，∴a<，又∵c2=a2+3，∴360不成立；k=7，S=10，7>60不成立；k=15，S=25，15>60不成立；k=31，S=56，31>60不成立；k=63，S=119成立，63>60，输出S=119，结束程序.
6. C 根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC=，∴3=，∴PA=2，又PA⊥平面ABCD，所以VP－ABCD=×1×2×2=，V球=π×()3，P==.
7. B ∵a=sin(－810°)=－1，c=lg=－lg5<－lg=－，－1=a0，故A项正确．故选A项．
10. C 如图，当x1∈[－2，0]时，f(x1)max=f(－1)=－1；当x2∈[1，2]时，g(x2)为增函数，则g(x2)max=g(2)=6+m.由题意知f(x1)max≤g(x2)max，即－1≤6+m，即m≥－7.
11. C f(x)=sin(wx+φ－)，g(x)=sin(wx－+φ－)，因为g(x)的最小正周期为π，所以=π，所以w=2.由x=为g(x)的一条对称轴，则φ－=+kπ(k∈Z)，即φ=－，故g(x)=sin(2x－).令－+2kπ≤2x－≤+2kπ(k∈Z)，即+kπ≤x≤+kπ.
12. C a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－2)an－2＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，②
①－②得，nan＝4n·3n－1，即an＝4·3n－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝3≠4，
所以an＝bn＝所以Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③
Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④
③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－，所以Sn＝－＜，所以λ的最小值是.故选C项．
13. － ∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sin α＝sin β＝，cos α＝－cos β，
∴cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
14. 5.25 因为＝＝2.5，＝＝3.5，所以点(2.5,3.5)在回归直线＝－0.7x＋上，即3.5＝－0.7×2.5＋，解得＝5.25.
15. 设C(x，y)，由＝2，得∴C.又C为椭圆上一点，
∴＋＝1，解得e＝.
16. a2 设底面△ABC的外接圆半径为r，则＝2r，所以r＝a.所以正四面体的高为
＝a，设正四面体的外接球半径为R，则R2＝2＋2，∴R＝a.因为∶＝3∶4，所以三棱锥P－A1B1C1的外接球的表面积为4π×2×2＝a2.
17. (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得S＝S1S4，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)由题意可知bn＝(－1)n－1·＝(－1)n－1·.
当n为偶数时，Tn＝－＋－＋…＋－＝；当n为奇数时，Tn＝－＋－＋…－＋＝.
所以Tn＝
18.解 (1)设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a，b.从这6个芒果中选出3个的情况共有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共计20种.其中恰有1个在[300,350)内的情况有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，共计12种，
因此概率P＝＝.
(2)方案A：
(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003 ＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001) ×50×10 000×10×0.001＝25 750(元).
方案B：
由题意得低于250克：
(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000(元)；
高于或等于250克：
(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500(元)，
所以共获利7 000＋19 500＝26 500(元).
由于25 750<26 500，
故B方案获利更多，应选B方案.
19.解 (1)在△BDE中，由正弦定理得DE＝＝，
在△ADF中，由正弦定理得DF＝＝.
由tan∠DEF＝，得＝，
整理得tan θ＝，所以θ＝60°.
(2)S＝DE·DF＝
＝
＝＝.
当θ＝45°时，S取最小值＝.
20. (1)依题意，设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，
由抛物线C经过点P(1,2)，得a＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)因为|PM|＝|PN|，
所以∠PMN＝∠PNM，所以∠1＝∠2，
所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.
依题意，直线AP的斜率存在，
设直线AP的方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
将其代入抛物线C的方程，
整理得k2x2－2(k2－2k＋2)x＋k2－4k＋4＝0.
设A(x1，y1)，则1×x1＝，
y1＝k(x1－1)＋2＝－2，
所以A，
以－k替换点A坐标中的k，
得B.
所以kAB＝＝－1.所以直线AB的斜率为－1.
21.(1)证明 方法一 设BC∩OD＝E，
∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点.
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE.
又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，
∴AC∥平面POD.
方法二 ∵AB是底面圆的直径，
∴AC⊥BC.
∵弧BC的中点为D，
∴OD⊥BC.
又AC，OD共面，
∴AC∥OD.
又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，
∴AC∥平面POD.
(2)解 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r.
由S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，得r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9(1＋)π.
22.解 (1)由2ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝，y＝x＋，
∴l的直角坐标方程为y＝x＋，
令y＝0得点M的直角坐标为(－1，0)，
∴点M的极坐标为(1，π).
(2)由(1)知l的倾斜角为，参数方程为(t为参数)代入y2＝2px得3t2－4pt＋8p＝0，∴t1＋t2＝，t1t2＝，
∵|AB|2＝|MB|·|MA|，∴(t1－t2)2＝t1t2，
∴(t1＋t2)2＝5t1t2，
∴＝5×，∴p＝.
23.解 (1)由f(x)＋b<0得，|x－a|<－b，
当b≥0时，不合题意；
当b<0时，a＋b
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