数学理卷·2017届河北省故城县高级中学高三上学期第二次月考（2016

数学理卷·2017届河北省故城县高级中学高三上学期第二次月考（2016

高三数学(理)月考试题 ‎ 时间120分钟　　满分150分 2016.11‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知等差数列{an}中，a2＝5，a4＝11，则前10项和S10＝(　　)‎ A．55　　　　　　　　　　 B．155‎ C．350 D．400‎ ‎2. 已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于(　　)‎ A．9 B．6 ‎ C．5 D．3‎ ‎3．若实数a，b满足a＋b＝2，则‎3a＋3b的最小值是(　　)‎ A．18 B．6 ‎ C．2 D．3 ‎4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 ‎5. 数列{(－1)n(2n－1)}的前2 016项和S2 016等于(　　)‎ A．－2 016 B．2 ‎016 C．－2 015 D．2 015‎ ‎6. 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)‎ A. B. C．5 D．6‎ ‎7. 如果实数x，y满足，目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为(　　)‎ A．2 B．－‎2 C. D．不存在 ‎8. 某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A．4 B．‎2 C. D．8‎ ‎9. 已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|‎2a－b|的最大值，最小值分别是(　　)‎ A．4，0 B．4,‎4 C．16,0 D．4,0‎ ‎10．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)‎ A．－10 B．－‎9 C．10 D．9‎ ‎11. 在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝，CD＝CB＝，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎12. 已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)‎ A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.‎ ‎14. 当实数x，y满足不等式组时，恒有ax＋y≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15. 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．‎ ‎16. 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＋2＝3an＋1－2an，则{an}的前n项和Sn＝________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.‎ ‎(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；‎ ‎(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．‎ ‎(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；‎ ‎(2)连接A‎1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn+1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(‎2a＋c)··＋c··＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝2.试求·的最小值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.‎ ‎(1)求证：AG∥平面PEC；‎ ‎(2)求AE的长；‎ ‎(3)求二面角E－PC－A的正弦值．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.‎ ‎(1)求第n年年初M的价值an的表达式；‎ ‎(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．‎ 高三数学（理）月考参考答案 ‎1. 答案　B ‎2. 解析：∵a∥b，‎ ‎∴4×3－2x＝0，解得x＝6，故选B.‎ 答案：B ‎3. 解析：法一：‎3a＋3b≥2＝2＝6.‎ 当且仅当a＝b＝1时取等号，故‎3a＋3b的最小值是6.‎ 法二：由a＋b＝2，得b＝2－a，‎ ‎∴‎3a＋3b＝‎3a＋32－a＝‎3a＋≥2＝6.‎ 当且仅当‎3a＝，即a＝1时等号成立．‎ 答案：B ‎4. 答案　D 解析　连接C1D，BD.∵N是D‎1C的中点，∴N是C1D的中点，∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD，∴CC1⊥MN，故A，C正确．∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确，故选D.‎ ‎5. 答案　B 解析　S2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝＝2 016.故选B.‎ ‎6. 答案　C 解析　∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝5，‎ 当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．‎ ‎7. 解析：如图为所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得 A(1，)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x＋5y－25＝0在y轴上的截距为5，故目标函数z＝kx＋y的斜率－k＜－，‎ 即k＞.‎ 将k＝2代入，过B的截距z＝2×1＋1＝3.‎ 故C的截距z＝2×5＋2＝12.符合题意．故k＝2.故应选A.‎ 答案：A ‎8. 答案　D 解析　由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD＝3，BF＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为×2×2×4＝8.‎ ‎9. 解析：∵|‎2a－b|2＝‎4a2－‎4a·b＋b2＝8－4(cosθ－sinθ)＝8－8cos(θ＋)，易知0≤8－8cos(θ＋)≤16，‎ ‎∴|‎2a－b|的最大值和最小值分别为4和0.‎ 答案：D ‎10. 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ 又∵an＝－，‎ ‎∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝，‎ 又∵＝，∴n＝9，‎ ‎∴原题变为求10x＋y＋9＝0在y轴上的截距，令x＝0，得y＝－9，‎ ‎∴直线在y轴上的截距为－9.故选B.‎ ‎11. 答案　C 解析　如图所示，OA＝1，OC＝2.当A′C与圆相切时，直线A′C与平面BCD所成的角最大，最大角为30°，其正切值为.故选C.‎ ‎12. 答案　D 解析　观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，‎ ‎∴第60个数对是(5,7)．‎ ‎13. 答案　 解析　利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．‎ 因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0,2sinθcosθ＝cos2θ.‎ 因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.‎ ‎14. 答案　(－∞，3]‎ 解析　画出可行域，如图中阴影部分所示．‎ 要使ax＋y≤3恒成立，即可行域必须在直线ax＋y－3＝0的下方，故分三种情况进行讨论：‎ ‎①当a>0且≥1，即080，‎ 当n≥7时，由于S6＝570，‎ 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.‎ 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．‎ 因为An＝＝，‎ A8＝≈82.734>80，‎ A9＝≈76.823<80，‎ 所以必须在第九年年初对M更新．‎