2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分专题十 平面解析几何 作业15

2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分专题十 平面解析几何 作业15

小题专练·作业(十五) 一、选择题 1．(2016·山西四校)若直线 l：ax＋by＋1＝0 始终平分圆 M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝ 0 的周长，则(a－2)2＋(b－2)2 的最小值为(　　) A. 5　　　　　　　　　 B．5 C．2 5 D．10 答案　B 解析　由题意，知圆心 M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.因为(a－2)2 ＋(b－2)2 表示点(a，b)与(2，2)的距离的平方，而 （a－2）2＋（b－2）2的最小 值为|4＋2－1| 4＋1 ＝ 5，所以(a－2)2＋(b－2)2 的最小值为 5. 2．(2016·百校联盟)已知直线 y＝kx＋3 与圆 x2＋(y＋3)2＝16 相交于 A，B 两点， 则“k＝2 2”是“|AB|＝4 3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　易得圆心为(0，－3)，半径为 4，圆心(0，－3)到直线 y＝kx＋3 的距离 d＝ |3＋3| 1＋k2 ＝ 6 1＋k2 ，弦长的一半为|AB| 2 ＝2 3，故 d＝ 42－12＝2＝ 6 1＋k2 ，解得 k2 ＝8，可得 k＝2 2或 k＝－2 2，故“k＝2 2”是“|AB|＝4 3”的充分不必要条 件，故选 A. 3．(2016·合肥质检)已知点 A，B 分别为双曲线 C： x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、 右顶点，点 P 为双曲线 C 上异于 A，B 的另外一点，且△ABP 是顶角为 120°的 等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A. 3x±y＝0 B．x± 3y＝0 C．x±y＝0 D. 2x±y＝0 答案　C 解析　依题意，不妨设点 P 在双曲线的右支上，且∠ABP＝120°，过点 P 作 PP ′垂直于 x 轴并交 x 轴于 P′，故|BP|＝|AB|＝2|BP′|＝2a，故在直角三角形 BPP ′中，P(2a， 3a)，代入双曲线的方程中整理得b2 a2＝1，即b a ＝1，即双曲线的渐近 线方程为 y＝±x. 4．(2016·新课标全国Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的离心率为(　　) A. 2 B.3 2 C. 3 D．2 答案　A 解析　设 F1(－c，0)，将 x＝－c 代入双曲线方程，得c2 a2－y2 b2＝1，所以y2 b2＝c2 a2－1＝ b2 a2，所以 y＝±b2 a .因为 sin∠MF 2F1＝1 3 ，所以 tan∠MF 2F1＝ |MF1| |F1F2|＝ b2 a 2c＝ b2 2ac＝ 1 2 2 ，c2－a2 ac ＝ 1 2 ，e2－1＝ 2 2 e，解得 e＝ 2.选 A. 5．(2016·河北三市七校)过点 P(－2，0)的直线与抛物线 C：y2＝4x 相交于 A、B 两点，且|PA|＝1 2|AB|，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为(　　) A.5 3 B.7 5 C.9 7 D．2 答案　A 解析　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过 A、B 作直线 x＝－1 的垂线，垂足分别为 D、E， ∵|PA|＝1 2|AB|，∴{3（x1＋2）＝x2＋2， 3y1＝y2 又{y12＝4x1， y22＝4x2 得 x1＝ 2 3 ，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 1＋2 3 ＝5 3. 6．(2016·福州调研)已知圆 C：x2＋y2－2x＝3，过原点且互相垂直的两直线分别 交圆 C 于点 D，E，F，G，则四边形 DFEG 面积的最大值为(　　) A．4 3 B．7 C．5 2 D．8 答案　B 解析　如图，C：x2＋y2－2x＝3⇒(x－1)2＋y2＝4，则圆心 C(1， 0)，r＝2，因|DE|＝2r2－d12＝2 4－d12，|FG|＝2r2－d22＝2 4－d22， 又 d12 ＋d 22 ＝OC 2 ＝1 ，所以 S 四 边 形 DFEG ＝1 2|DE| ·|FG| ＝2 4－d12 4－d22≤4－d12＋4－d22＝7，即四边形面积的最大值为 7. 7．(2016·福州五校)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是 y＝3 2 x，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.x2 21 －y2 28 ＝1 B.x2 4 －y2 3 ＝1 C.x2 28 －y2 21 ＝1 D.x2 3 －y2 4 ＝1 答案　B 解析　双曲线的渐近线方程是 y＝±b ax，所以b a ＝ 3 2 ，抛物线的准线方程为 x＝ － 7，所以 c＝ 7，由 a2＋b2＝c2，可得 a2＝4，b2＝3，故选 B. 8．(2016·石家庄模拟)如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为 20 厘米，底 面半径为 2 厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒 底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计)．一个平面与两个乒乓球 均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 (　　) A. 15 4 B.1 5 C.2 6 5 D.1 4 答案　A 解析　如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为 O1，O2，椭圆 与球筒边缘的交点分别为 E，F，椭圆与两个乒乓球的切点分别 为 A ，B ，由 题 可 知 ，|O1O2| ＝ 16 ，|O1A| ＝ 2 ，过 点 E 作 EM⊥O1O2，则|EM|＝|O1A|＝2，易知△EMO≌△O1AO，则|EO| ＝|O1O|＝8，所以|EF|＝16，即 2a＝16，a＝8.椭圆的短轴长为圆柱 的直径，即 2b＝4，b＝2，所以 c＝ a2－b2＝2 15，故该椭圆的 离心率 e＝c a ＝ 15 4 ，选项 A 正确． 9．(2016·山西质检)F1，F2 分别为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a，b>0)的左，右焦点，点 P 在双曲线上，满足PF1 → ·PF2 → ＝0，若△PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 3－1 2 ，则该双曲线的离心率为(　　) A. 2 B. 3 C. 2＋1 D. 3＋1 答案　D 解析　不妨设|PF1|＝m，根据双曲线的定义有|PF2|＝m＋2a，由于PF1→ ·PF2→ ＝0， 即PF1→ ⊥PF2→ ，则有 m2＋(m＋2a)2＝(2c)2，整理有 2m2＋4am＝4c2－4a2＝4b2，即 m2＋2am－2b2＝0，解得 m＝ a2＋2b2－a(负值舍去)，即|PF1|＝ a2＋2b2－a，|PF2| ＝ a2＋2b2＋a，设△PF 1F2 的内切圆半径为 r，则有 1 2(|PF1|＋|PF 2|＋|F 1F2|)r＝ 1 2 ·|PF1||PF2|，解得 r＝ b2 a2＋2b2＋c ，又△PF1F2 的外接圆半径 R＝c，则有 r R ＝ b2 （ a2＋2b2＋c）·c ＝ 3－1 2 ，整理有 c2－a2 c（ 2c2－a2＋c） ＝ 3－1 2 ，整理可得 c＝( 3＋ 1)a，故双曲线的离心率为 e＝c a ＝ 3＋1. 10．(2016·浙江)已知椭圆 C 1： x2 m2 ＋y2＝1(m>1)与双曲线 C2：x2 n2 －y2＝1(n>0)的 焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则(　　) A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m1 D．mn，又(e 1e2)2 ＝ m2－1 m2 ·n2＋1 n2 ＝n2＋1 n2＋2 ·n2＋1 n2 ＝n4＋2n2＋1 n4＋2n2 ＝1＋ 1 n4＋2n2>1，所以 e1e2>1.故选 A. 11．(2016·山西协作体)已知 A1，A2 分别为双曲线x2 4 －y2 9 ＝1 的左、右顶点，P 为 双曲线上第一象限内的点，直线 l：x＝1 与 x 轴交于点 C，若直线 PA1，PA2 分 别交直线 l 于 B1，B2 两点，且△A1B1C 与△A2B2C 的面积相等，则直线 PA1 的 斜率为(　　) A. 3 3 B.1 2 C. 3 2 D.1 3 答案　B 解析　由已知，显然直线 PA1 的斜率存在，故可设直线 PA1 的方程为 y＝k(x＋ 2)，由已知 k>0，则由{y＝k（x＋2）， x2 4 －y2 9 ＝1 得(9－4k2)y2－36ky＝0，易知 9－4k2≠0， 因而 P(18＋8k2 9－4k2 ， 36k 9－4k2)，所以 kPA2＝ 9 4k ，则直线 PA2 的方程为 y＝ 9 4k(x－2)， 直线 PA1，PA2 与直线 l 分别交于 B1(1，3k)，B2(1，－ 9 4k)，因而1 2 ×3×3k＝1 2 ×1 × 9 4k ，得 k＝1 2 ，故选 B. 12．(2016·重庆测试)若以 F 1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线与直线 y＝x－1 有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　) A. 6 2 B.3 5 5 C.3 2 D. 3 答案　B 解析　依题意，设题中的双曲线方程是x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)，则有 a2＋b2＝9，b2＝ 9－a2.由{y＝x－1 x2 a2－y2 b2＝1消去 y，得x2 a2－（x－1）2 b2 ＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝ 0(*)有实数解，注意到当 b2－a2＝0 时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心 率 e＝ 2；当 b2－a2≠0 时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即 a2－b2≤1，a2－(9 －a2)≤1(b2＝9－a2>0 且 a2≠b2)，由此解得 00)，|PF|＝|PM|，∵FP → 在FM → 方向上的投 影为 2，∴|MF|＝2 2，∴ 22＋t2＝2 2，解得 t＝2，∴P(1，2)，∴△FPM 为直 角三角形，且其外接圆圆心为(0，1)，半径为 2，故△FPM 的外接圆的方程 x2＋ (y－1)2＝2. 14．(2016·合肥六校)已知点 P 和 Q 的纵坐标相同，P 的横坐标是 Q 的横坐标的 3 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2，若 C1 的渐近线方程为 y＝± 3x，则 C2 的渐近线方程为________． 答案　y＝±3 3x 解析　设 Q(x1，y1)，P(3x1，y1)，根据双曲线的对称性设 C1 的方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0， b>0)，则9x12 a2 －y12 b2 ＝1，即 C2 的方程为 x2 （a 3 ）2 －y2 b2＝1.因为 C1 的渐近线方程为 y＝ ± 3x，所以b a ＝ 3，所以 C2 的渐近线方程为 y＝±b a 3 x，即 y＝±3 3x. 15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点，直线 y＝b 2 与椭圆交于 B，C 两点， 且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 答案　 6 3 解析　由题意可得 B(－ 3 2 a，b 2)，C( 3 2 a，b 2)，F(c，0)．则由∠BFC＝90°，得 BF → ·CF → ＝(c＋ 3 2 a，－b 2)·(c－ 3 2 a，－b 2)＝c2－3 4a2＋1 4b2＝0，化简得 3c＝ 2a，则 离心率 e＝c a ＝ 2 3 ＝ 6 3 . 16．(2016·黄山七校)已知点 P 是抛物线 C1：y2＝4x 上的动点，过点 P 作圆 C2： (x－3)2＋y2＝2 的两条切线，则两切线夹角的最大值为________． 答案　π 3 解析　由已知得，圆心 C2(3，0)，半径为 2.设点 P(y02 4 ，y0)，两切点分别为 A， B，要使两切线的夹角最大，只需|PC2|最小，|PC2|＝ （y02 4 －3）2＋（y0－0）2＝ 1 16 （y02－4）2＋8，当 y02＝4 时，|PC2|min＝2 2，∴∠APC2＝∠BPC2＝π 6 ，∴∠ APB＝π 3 . 17．(2016·衡中调研)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p>0)交于点 O、A、B，若△ABO 的垂心为 C2 的 焦点，则 C1 的离心率为________． 答案　3 2 解析　由题意可得双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，与抛物线 C2：x2＝2py 联立， 可得 x＝0 或 x＝±2pb a ，取 A(2pb a ，2pb2 a2 )，设垂心 H(0，p 2)，则 kAH＝ 2pb2 a2 －p 2 2pb a ＝ 4b2－a2 4ab ，而△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则有4b2－a2 4ab ×(－b a)＝－1，可得 5a2＝ 4b2，则有 5a2＝4(c2－a2)，故 e＝c a ＝3 2. 18．(2016·湖南六校联考)已知椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1，A、B 为椭圆 C 的左、 右顶点，P 为椭圆 C 上不同于 A、B 的动点，直线 x＝4 与直线 PA、PB 分别交 于 M、N 两点；若 D(7，0)，则过 D、M、N 三点的圆必过 x 轴上不同于点 D 的 定点，其坐标为________． 答案　(1，0) 解析　设点 P(x0，y0)、M(4，yM)、N(4，yN)，则直线 PA、PB 所在的直线方程 分别为 y＝ y0 x0＋2(x＋2)、y＝ y0 x0－2(x－2)，依题意，可求得 y M＝ 6y0 x0＋2 ，yN＝ 2y0 x0－2.∵DM → ＝(－3，yM)，DN → ＝(－3，yN)，∴DM → ·DN → ＝9＋ 12y02 x02－4 ，又x02 4 ＋y02 3 ＝ 1，∴12－3x02＝4y02，即 12y02 x02－4 ＝－9，∴DM → ·DN → ＝0，∴MN 为过 D、M、N 三点的圆的直径． 通解：设定点为 E(t，0)，则 MN 为线段 DE 的垂直平分线，又线段 MN 为圆的 直 径 ， 令 圆 心 为 F(4 ， a) ， 可 得 |EF| ＝ |FD| ， 即 （4－t）2＋（a－0）2＝ （4－7）2＋（a－0）2，解得 t＝1 或 7(舍)，所以定点坐标为(1，0)． 优解：设定点 E(t，0)，则 MN 为线段 DE 的垂直平分线，所以点 E 与点 D 关于 直线 x＝4 对称，故定点为 E(1，0)． 1．(2016·长春监测)过双曲线 x2－y2 15 ＝1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：(x＋4)2＋ y2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋y2＝1 作切线，切点分别为 M，N，则|PM|2－|PN|2 的最 小值为(　　) A．10 B．13 C．16 D．19 答案　B 解析　由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2 －|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13. 故选 B. 2．(2016·石家庄质检)已知直线 l 与双曲线 C：x2－y2＝2 的两条渐近线分别交 A， B 两点，若 AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为(　　) A.1 2 B．1 C．2 D．4 答案　C 解析　由题意得，双曲线的两条渐近线方程为 y＝±x，设 A(x1，x1)，B(x2，－ x2)，∴AB 中点坐标为(x1＋x2 2 ，x1－x2 2 )，∴(x1＋x2 2 )2－(x1－x2 2 )2＝2，即 x1x2＝2， ∴S△AOB＝1 2|OA|·|OB|＝1 2| 2x1|·| 2x2|＝x1x2＝2，故选 C. 3．(2016·衡阳二模)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)上有一点 A，它关于原点的 对称点为 B，点 F 为双曲线的右焦点，且 AF⊥BF，设∠ABF＝α，且 α∈[π 12 ， π 6 ]，则该双曲线离心率 e 的取值范围为(　　) A．[ 2， 3＋1] B．[ 3，2＋ 3] C．[ 2，2＋ 3] D．[ 3， 3＋1] 答案　A 解析　在 Rt△ABF 中，|OF|＝c，∴|AB|＝2c，∴|AF|＝2csinα，|BF|＝2ccosα， 由题中条件知|BF′|＝|AF|，∴||BF|－|AF||＝2c|cosα－sinα|＝2a，∴e＝ c a ＝ 1 |cosα－sinα|＝ 1 2|cos（α＋ π 4 ）| ，∵π 12≤α≤π 6 ，∴π 3 ≤α＋π 4 ≤5π 12 ，∴cos(α ＋π 4 )∈[ 6－ 2 4 ，1 2]， 2|cos(α＋π 4 )|∈[ 3－1 2 ， 2 2 ]，∴e∈[ 2， 3＋1]． 4．(2016·南昌调研)已知双曲线 Γ：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，AF2 → ＝λF2B → (λ>0)，其中 A、B 为双曲线右支上的两点．若在△AF1B 中，∠F1AB ＝90°，|F1B|＝ 2|AB|，则双曲线 Γ 的离心率的平方的值为(　　) A．5＋2 2 B．5－2 2 C．6－ 2 D．6＋ 2 答案　B 解析　∵AF2→ ＝λF2B→ (λ>0)，∴A、F2、B 三点共线．在△AF1B 中，∠F1AB＝ 90°，|F1B|＝ 2|AB|，故△AF1B 是等腰直角三角形．设|AF2|＝m，由|AF1|－|AF2| ＝2a，得|AF1|＝2a＋|AF2|＝2a＋m，又|AF1|＝|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋|BF2|，∴|BF2| ＝2a，又|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|＝4a，依题意|BF1|＝ 2|AF1|，即 4a＝ 2(2a＋ m)，m＝2( 2－1)a，在 Rt△F1AF2 中，|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，即 8a2＋(2 2a－2a)2＝ 4c2，即 c2＝5a2－2 2a2，∴e2＝5－2 2，故选 B. 5．(2016·开封模拟)已知点 A(0，2)，抛物线 C1：y2＝ax(a>0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C1 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若|FM|∶|MN|＝1∶ 5，则 a 的 值等于________． 答案　4 解析　过点 M 作准线的垂线，垂足为 H，则|FM|＝|MH|，∵|FM| |MN| ＝|MH| |MN| ＝ 1 5 ，∴ tan∠NMH＝2，即 kMF＝－2，∴ ＝－2，解得 a＝4.