2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省武邑中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．计算cos(－780°)的值是 (　　)‎ A．－ B．－ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．‎ ‎【详解】‎ cos（-780°）=cos780°=cos60°=．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．‎ ‎2．已知，若，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，可得0，根据平面向量的数量积坐标运算公式，可得一个关于m的方程，解方程可得m值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴0‎ 即﹣1×3+2m＝0‎ 即m 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，数量积为0，构造关于m的方程，是解答本题的关键．‎ ‎3．在中，如果，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特殊角的三角函数值结合在△ABC中，可求得A的值；‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∴．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特殊角的三角函数值及三角形中角的范围，属于基础题.‎ ‎4．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．2 C．－3或2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数的定义判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.‎ ‎∵该函数在第一象限内是单调递减的，‎ ‎∴m<0.‎ 故m＝－3.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题．‎ ‎5．若,,,则a,b,c之间的大小关系是(　　)‎ A．c>b>a B．c>a>b C．a>c>b D．b>a>c ‎【答案】C ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a=22.5＞1，＜0，， ∴a＞c＞b， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6．实数，，的大小关系正确的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数的单调性可得，‎ 根据指数函数的单调性可得，‎ 即，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎7．函数的单调增区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的单调增区间即为的减区间，‎ 令,解得故选C.‎ 点睛：本题属于易错题型，在研究函数的单调区间是，基本思路是将看作整体，利用的单调性求解即可，而在本题中， 中的系数是负的，所以用复合函数的单调性解释的化应该为“同增异减”，即需要将负号提出，得到，进而研究函数的单减区间才行.‎ ‎8．若直线与直线互相垂直,则等于(   )‎ A．1 B．-1 C．±1 D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．‎ ‎【详解】‎ 解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．‎ ‎②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；‎ ‎③，当时，此两条直线的斜率分别为，．‎ 两条直线相互垂直，‎ ‎ ，化为，‎ 综上可知：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．‎ ‎9．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的各个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A．25π B．50π C．125π D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即，所以球的表面积为，故选B ‎10．已知实数满足,那么的最小值为(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵对任意实数，都有成立，‎ ‎∴函数在R上为增函数，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．选D．‎ 点睛：‎ ‎（1）函数单调性的几种等价表示形式，若函数在区间D上为增函数，则对任意，则，或，或．‎ ‎（2）已知分段函数在实数集R上的单调性求参数范围时，除了考虑函数在每一段上的单调性相同之外，还要注意在分界点处的函数值的大小，否则得到的范围会增大．‎ ‎12．形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 (且)有最小值,则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，而有最小值，故.令，，其图像如图所示：‎ 共4个不同的交点，选C.‎ 点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的刻画过程.‎ 二、填空题 ‎13．已知对于任意x,y均有,且时，，则是_____（填奇或偶）函数 ‎【答案】奇函数 ‎【解析】赋值，可求得，再赋值即可得到，利用奇偶性的定义可判断奇偶性；‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令，得，‎ ‎，‎ 再令，得，‎ 是上的奇函数；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了赋值法及奇函数的定义。‎ ‎14．化简： =____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用三角函数的平方关系式，化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎===‎ 又，所以，所以=，‎ 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．‎ ‎15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2， 由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25， 故答案为：（x-1）2+（y-1）2=25．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．‎ ‎16．两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.‎ ‎【答案】外切 ‎【解析】先把两个圆的方程变为标准方程，分别得到圆心坐标和半径，然后利用两点间的距离公式求出两个圆心之间的距离与半径比较大小来判别得到这两个圆的位置关系．‎ ‎【详解】‎ 由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圆心O（-3，2），半径为r=2； 由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圆心P（3，-6），半径为R=8． 则两个圆心的距离 ，所以两圆的位置关系是：外切．‎ 即答案为外切 ‎【点睛】‎ 本题考查学生会利用两点间的距离公式求两点的距离，会根据两个圆心之间的距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合,‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若集合是集合A的子集,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】（1）时，求出，然后进行交集的运算即可；‎ ‎（2）对集合B是不是空集分类，再根据子集的概念列不等式求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，,‎ ‎(2)即时，，满足题意；‎ 若 ，即，集合是集合A的子集，则 ,此不等式组无解 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 考查交集的运算，子集的定义，不要漏了的情况．‎ ‎18．设是实数，‎ ‎（1）证明：f(x)是增函数；‎ ‎（2）试确定的值，使f(x)为奇函数。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）1‎ ‎【解析】（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；‎ ‎（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，‎ f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，‎ 又由y=2x在R上为增函数，则＞0，＞0，‎ 由x1＜x2，可得﹣＜0，‎ 则f（x1）﹣f（x2）＜0，‎ 故f（x）为增函数，与a的值无关，‎ 即对于任意a，f（x）在R为增函数；‎ ‎（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，‎ 必有有f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即a﹣=﹣（a﹣），变形可得2a==2，‎ 解可得，a=1，‎ 即当a=1时，f（x）为奇函数．‎ ‎【点睛】‎ 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎19．已知向量m＝(cos，sin )，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.‎ ‎(1) 求函数的最大值；‎ ‎(2) 若 且 ＝1，求的值.‎ ‎【答案】(1) f(x)的最大值是4 (2) －‎ ‎【解析】（1）先由向量的数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin (x∈R)，最大值易得； （2）若 且 ‎＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值 ‎【详解】‎ ‎(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)‎ ‎＝2 (sinx＋cosx)＝4sin (x∈R)，‎ 所以f(x)的最大值是4.‎ ‎(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.‎ 又因为x∈，即x＋∈.‎ 所以cos＝－‎ cos＝cos.‎ ‎＝coscos－sinsin ‎＝－×－×＝－.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的综合题以及三角函数的恒等变换求值，解题的关键是熟练掌握向量的数量积公式及三角恒等变换公式，本题涉及到向量与三角恒等变换，综合性较强，变形灵活，主要考查了变形的能力及利用公式计算求值的能力 ‎20．求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】设圆心（t，3t），由题意可得半径r=3|t|，求出圆心到直线的距离d，再由，解得t的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．‎ ‎【详解】‎ 设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r=3|t|．‎ ‎∵圆心到直线的距离d==|t|，由，解得t=±1．‎ 故圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．‎ 故圆C的方程为 （x+1）2+（y+3）2=9 或 （x﹣1）2+（y﹣3）2=9．‎ ‎【点睛】‎ 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎21．已知函数在区间上单调,当时, 取得最大值,当时, 取得最小值.‎ ‎（1）求的解析式 ‎（2）当时, 函数有个零点, 求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数的最大值和最小值求出，由周期求出ω，由特殊点的坐标出φ的值，可得函数的解析式．‎ ‎（2）等价于时，方程有个不同的解.即与有个不同交点，画图数形结合即可解得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题知， . .又，即，的解析式为.‎ ‎（2）当时，函数有个零点，‎ 等价于时，方程有个不同的解.‎ 即与有个不同交点.‎ 由图知必有，‎ 即.实数的取值范围是.‎ 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎ ‎22．已知为的三个内角，向量与向量共线，且角为锐角.‎ ‎(1）求角的大小；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据平行向量的坐标关系即可得到（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，这样即可解出tan2A，结合A为锐角，即可求出A；‎ ‎（2）由B+C便得C，从而得到，利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数y＝1+sin（B），由前面知0‎ ‎，从而可得到B的范围，结合正弦函数的图象即可得到的范围，即可得出原函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由m∥n，得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，‎ 得到2（1-sin2A）-sin2A+cos2A=0，‎ 所以2cos2A-sin2A+cos2A=0，即3cos2A-sin2A =0‎ 得，所以,‎ 且为锐角，则.‎ ‎（2）由（1）知，，即,‎ ‎=,‎ 所以，=，‎ 且，则,‎ 所以，则，即函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平行向量的坐标的关系，同角基本关系及向量数量积的计算公式，考查了利用正弦函数的图象求最值及二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式等，属于综合题型．‎