2018-2019学年江西省南康中学、于都中学高二上学期第三次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省南康中学、于都中学高二上学期第三次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省南康中学、于都中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．是"方程""表示焦点在y轴上的椭圆的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．‎ ‎【详解】‎ 将方程mx2+ny2=1转化为，‎ 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0‎ 反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆 综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导．‎ ‎2．高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）‎ A． 30 B． 31 C． 32 D． 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，样本间隔为，则另外一个号码为，则选C.‎ ‎3．下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A． 命题“若，则”的逆命题为真命题；‎ B． 命题“若或，则”的否命题为真命题；‎ C． 命题“”为真命题，则命题p和q均为真命题；‎ D． 命题“若，则”的逆否命题为假命题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A命题“若，则”的逆命题为若，则是假命题，故A错误；B. 命题“若或，则”的否命题为“若，则”是真命题；C. 命题“”为真命题，则命题p和q至少有一个真命题即可；D原命题和逆否命题真假性相同，故判断原命题的真假即可.‎ ‎【详解】‎ A命题“若，则”的逆命题为若，则是假命题，故A错误；B. 命题“若或，则”的否命题为“若，则”是真命题；C. 命题“”为真命题，则命题p和q至少有一个真命题即可；D. 命题“若，则”是真命题故逆否命题也是真命题。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．‎ ‎（2）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．‎ 注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．‎ ‎4．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温 ‎（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：‎ 气温（℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据，得线性回归直线方程，若，则 ( )‎ A． 60 B． 30 C． 55 D． 50‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，‎ ‎【详解】‎ 由表格得＝10，＝40．‎ ‎∴（，）为：（10，40），‎ 又（，）满足回归方程，b＝﹣2，代入点得到 ‎∴40＝10×（﹣2）+a，‎ 解得：a＝60，‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．‎ ‎5．按如下程序框图，若输出结果为S=42，则判断框内应补充的条件为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定判断框内应补充的条件．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知：i=1，S=0， S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体； S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体； S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体， 故判断框内应补充的条件为i＞5，即. 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.‎ ‎6．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )‎ A． CC1与B1E是异面直线；‎ B． AC⊥平面ABB1A1；‎ C． AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；‎ D． A1C1∥平面AB1E.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：A不正确，由可知延长，必相交于一点，所以，为相交直线；‎ B不正确，由为正三角形可知也为正三角形，所以不可能垂直面；‎ C正确，因为为正三角形，且为的中点，所以，又，所以且为异面直线；‎ D不正确；因为，而面，所以与面相交．‎ 故C正确．‎ 考点：1线线位置关系；2线面位置关系．‎ ‎7．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n＝＝10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．‎ ‎【详解】‎ 所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，‎ 基本事件总数n＝＝10，‎ 其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：‎ ‎（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，‎ ‎∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p＝ ．‎ 故答案为：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该几何体是三棱锥，全面积为 考点：锥体的全面积 ‎9．已知等比数列中公比若存在两项使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的性质可求得m+n＝6（m∈N*，n∈N*），再利用基本不等式即可求得的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵各项均为正数的等比数列{an}的公比q＝2，‎ ‎∴am＝a1•qm﹣1＝2m﹣1•a1，‎ 同理an＝2n﹣1•a1‎ ‎∴am•an＝•2m+n﹣2＝16，‎ ‎∴2m+n﹣2＝16＝24，‎ ‎∴m+n＝6（m∈N*，n∈N*），‎ ‎∴＝（）×（m+n）‎ ‎＝（1+4+ ）‎ ‎≥（5+2）‎ ‎＝×9‎ ‎＝（当且仅当m＝2，n＝4时取“＝”）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式的应用，以及应用均值不等式求得最值的方法，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎10．已知满足（为常数），若最大值为3，则=( )‎ A． 2 B． 1 C． 4 D． 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由目标函数z＝x+3y的最大值为3，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．‎ ‎【详解】‎ 画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎，‎ 由 解得A（），‎ 将z＝x+2y转化为：y＝﹣x+，‎ 显然直线过A（）时，z最大，‎ z的最大值是+k＝3，解得：k＝2，‎ 故选：A．‎ 点睛】‎ 如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．‎ ‎11．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。‎ 详解：如图所示，‎ 点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，‎ 当平面时，三棱锥体积最大 此时，‎ ‎,‎ 点M为三角形ABC的重心 中，有 故选B.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。‎ ‎12．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以，从而，则椭圆方程为。依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有①‎ 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②‎ 由①②可得，所以，则，解得。因为，所以，故选B 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图，茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在月考1中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为 考点：方差 ‎14．若命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为命题“，使得”是假命题，‎ 所以“，使得”为真命题，‎ 因此 ‎ ‎15．在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则小于的概率为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在边长为 的正方形内部任取一点，则满足的所在区域如图阴影部分，是以为半径的半圆以及内部部分，满足几何概型，，的概率为，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎16．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．的内角的对边分别为已知.‎ ‎（1）求角和边长；‎ ‎（2）设为边上一点，且,求的面积.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.‎ 试题解析：（1）， ，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.‎ ‎(2) ， ， ， ， ， .‎ ‎18．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，，解得，‎ ‎，解得，‎ 若为真，则， ∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，‎ ‎，则，‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎19．为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：‎ ‎（1）求月收入在内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；‎ ‎（2）根据频率分布直方图估计这人的平均月收入；‎ ‎（3）若从月收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取人，求人都不赞成的概率．‎ ‎【答案】（1）0.3（2）4300元（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由所有频率的和为1可计算月收入在内的频率，作图时注意单位 ‎（2）利用平均数计算公式计算即可（3） [65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成,列出所有可能情况以及2人都不赞成的情况,则概率可求 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎（2）（百元）‎ 即这50人的平均月收入估计为4300元 ‎（3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成 记赞成的人为，不赞成的人为 任取2人的情况分别是：共10种情况 其中2人都不赞成的是：共3种情况 ‎2人都不赞成的概率是：‎ 考点：频率分布直方图，古典概型 ‎20．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.‎ ‎（1）求线段中点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代入圆的方程求解即可．（Ⅱ）设Q（-2，3）关于x轴对称点Q'（-2，-3）设过Q'（-2，-3）的直线ℓ：y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式化简求解即可．‎ 解析：‎ 设，‎ ‎ ‎ 则代入 轨迹的方程为 ‎（2）设关于轴对称点 设过的直线，即 ‎∵，，‎ ‎∴或 ‎∴反射光线所在即 即 ‎21．如图，设是椭圆的左焦点，点是轴上的一点，点为椭圆的左、右顶点，已知，且 ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于两点，试判定直线的斜率之和是否为定值，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由2a＝8，﹣a＝2（a﹣c），即可求得c的值，则b2＝a2﹣c2，即可求得椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，kAF＝kBF＝0，当直线l的斜率不为0，将直线方程代入椭圆方程由韦达定理及直线的斜率公式即可求得kAF+kBF＝0为定值，‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以 ‎ 又因为所以，即 ‎ 所以，所以 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎(2)当直线的斜率为0时，显然； ‎ 当直线的斜率不为0时，可设AB方程为代入椭圆方程整理得：‎ ‎ ，得或 设 ‎ 则 而 ‎ 综上可知 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎