2018-2019学年云南省峨山彝族自治县第一中学高二6月月考数学（文）试题 Word版

2018-2019学年云南省峨山彝族自治县第一中学高二6月月考数学（文）试题 Word版

峨山一中2018-2019学年下学期6月月考 高二文科数学试卷 出卷人：李永祥 审题人：董云生 考试时间120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B等于( )‎ A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3}‎ ‎2．在复平面内，与复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知等差数列{an}的前项和为Sn，S7＝21，则a4＝（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．6‎ ‎4．“x＞1”是“x2＞1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知双曲线C的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则C的方程（ ）‎ A．x2＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2＝1‎ ‎6．己知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（　　）‎ A．l∥β或l⊄β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m ‎7．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 ‎8．己知椭圆，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，‎ 则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎（第9题） （第11题）‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．8π B．9π C．32π D．36π ‎12．己知奇函数f（x）的导函数为f'（x），x∈R．当x∈（0，+∞）时，xf'（x）+f（x）＞0．若af（a）≥2f（2﹣a）+af（a﹣2），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．[﹣1，1] ‎ C．（﹣∞，﹣1]⋃[1，+∞） D．[1，+∞）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则y﹣x的最小值为　 　．‎ ‎14．在边长为6的等边三角形ABC中， ＝． 则＝　 　⋅‎ ‎15．已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于 ___ .‎ ‎16．已知数列满足，则 .‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（本题满分12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AB＝，AD＝2．‎ ‎（1）求∠ADB；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（本题满分12分）改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：‎ 年份（t）‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贫困发生率y（%）‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ ‎（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；‎ ‎（2）设年份代码x＝t﹣2015，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为： 。‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等边三角形，AB⊥AC，M是BC的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PM；‎ ‎（2）若AB＝AC＝2，求B到平面PAM的距离．‎ ‎20．（本题满分12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F， M（p，p﹣1）是C上的点．‎ ‎（1）求C的方程：‎ ‎（2）若直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点，且|AF|•|BF|＝13，求k的值．‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．‎ ‎（1）当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎（2）若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．‎ ‎22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy中, 直线过点P（1, -5）, 且倾斜角为, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎（2）试判定直线和圆C的位置关系．‎ 峨山一中2018-2019学年下学期6月考高二文科数学 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B等于(C )‎ A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3}‎ ‎2．在复平面内，与复数对应的点位于（ D ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）已知等差数列{an}的前项和为Sn，S7＝21，则a4＝（ C ）‎ A．0 B．2 C．3 D．6‎ ‎4．“x＞1”是“x2＞1”的（ A ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知双曲线C的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则C的方程（B ）‎ A．x2＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2＝1‎ ‎6．己知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（ A ）‎ A．l∥β或l⊄β B．l∥m C． m⊥α D．l⊥m ‎7．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ A ）‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 ‎ C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 ‎8．己知椭圆，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ A ）‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（ C ）‎ ‎ ‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ B ）‎ ‎ ‎ A．8π B．9π C．32π D．36π ‎12．己知奇函数f（x）的导函数为f'（x），x∈R．当x∈（0，+∞）时，xf'（x）+f（x）＞0．若af（a）≥2f（2﹣a）+af（a﹣2），则实数a的取值范围是（ D ）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．[﹣1，1] ‎ C．（﹣∞，﹣1]⋃[1，+∞） D．[1，+∞）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件则y﹣x的最小值为 ﹣2 ．‎ ‎14．在边长为6的等边三角形ABC中，＝．则＝ 24 ⋅‎ ‎15．已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于 .‎ ‎16．已知数列满足，则 .‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AB＝，AD＝2．‎ ‎（1）求∠ADB；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ 解：（1）∵AB＝，AD＝2，‎ ‎∴在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠ADB＝＝﹣，…4分 又∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB＝…6分 ‎（2）∵∠ADB+∠ADC＝π，∴∠ADC＝，‎ ‎∵AD⊥AC，‎ ‎∴△ADC为等腰直角三角形，可得AC＝2，…9分 ‎∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝+＝3．…12分 ‎18．（12分）改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：‎ 年份（t）‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贫困发生率y（%）‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ ‎（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；‎ ‎（2）设年份代码x＝t﹣2015，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，‎ ‎【解答】解：（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为a、b、c、d，均大于5%，‎ 设2016至2018年贫困发生率分别为E、F、G，均小于5%，‎ 从2012至2018年贫困发生率的7个数据中任选2个，可能的基本事件为：‎ ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21个，‎ 其中2个都低于5%的基本事件为EF、EG、FG，‎ 故所求的概率为P＝＝；‎ ‎（2）由题意可得，‎ 年份（t）‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代码（x）‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 贫困发生率y（%）‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ 由表中数据，计算＝×（﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3）＝0，‎ ‎＝×（10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.4）＝5.8，‎ xiyi＝﹣3×（10.2﹣1.4）﹣2×（8.5﹣3.1）﹣（7.2﹣4.5）＝39.9，‎ ‎＝2×32+2×22+2×12＝28，‎ ‎∴＝＝﹣1.425，‎ ‎＝5.8﹣（﹣1.425）×0＝5.8，∴回归直线为＝﹣1.425x+5.8；‎ 由回归方程知＝﹣1.425＜0，‎ ‎∴在2012年至2018年贫困发生率正逐年下降，平均每年下降1.425%，‎ 利用回归方程计算x＝4时，＝﹣1.425×4+5.8＝0.1，‎ 所以可预测2019年底我国发生贫困率为0.1%．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等边三角形，AB⊥AC，M是BC的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PM；‎ ‎（2）若AB＝AC＝2，求B到平面PAM的距离．‎ ‎ ‎ ‎【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接PO，OM，‎ ‎∵△PAC是等边三角形，∴PO⊥AC，‎ ‎∵OM是△ABC的中位线，∴OM∥AB，‎ 又AB⊥AC，∴OM⊥AC，‎ 又PO⊂平面POM，OM⊂平面POM，PO∩OM＝O，‎ ‎∴AC⊥平面POM，又PM⊂平面POM，‎ ‎∴AC⊥PM．‎ ‎（2）解：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP⊥AC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC．‎ ‎∵△PAC是边长为2的等边三角形，∴PO＝，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB＝2，M是BC的中点，‎ ‎∴S△ABM＝＝＝1，‎ ‎∴VP﹣ABM＝＝．‎ ‎∵OM＝AB＝1，∴PM＝＝2，又PA＝＝2，AM＝BC＝，‎ ‎∴SPAM＝＝，‎ 设B到平面PAM的距离为h，则VB﹣PAM＝S△PAM•h＝，‎ ‎∴＝，解得h＝．‎ ‎∴B到平面PAM的距离为．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（p，p﹣1）是C上的点．‎ ‎（1）求C的方程：‎ ‎（2）若直线l：y＝kx+2与C交于A，B两点，且|AF|•|BF|＝13，求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为M（p，p﹣1）是抛物线C上的点，所以，p2＝2p（p﹣1），‎ ‎∵p＞0，∴p＝2，因此，抛物线C的方程为x2＝4y；‎ ‎（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得x2﹣4kx﹣8＝0，△＝16k2+32＞0，‎ 由韦达定理得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，‎ 由抛物线的定义知，|AF|＝y1+1＝kx1+3，|BF|＝y2+1＝kx2+3，‎ 则|AF|•|BF|＝（kx1+3）（kx2+3）＝，‎ 解得k＝±1．‎ ‎21．【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.‎ ‎(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0，设g(x)＝lnx－，则 g′(x)＝－＝，g(1)＝0.‎ ‎(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a) x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；‎ ‎ (ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得，‎ x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．‎ ‎22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy中, 直线过点P（1, -5）, 且倾斜角为, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎（2）试判定直线和圆C的位置关系．‎ ‎【解析】：（1）由已知得, 直线l的参数方程是 （t为参数）‎ 圆心C的直角坐标为（0, 4）.∴圆C的直角坐标方程为x2+（y-4）2=16‎ 由得圆C的极坐标方程是ρ=8sin θ ‎（2）∵圆心的直角坐标是（0, 4） , 直线l的普通方程是x-y-5-=0‎ ‎∴圆心到直线l的距离∴直线l和圆C相离 ‎ ‎