2020届二轮复习离散型随机变量的均值与方差课件（30张）（全国通用）

2020届二轮复习离散型随机变量的均值与方差课件（30张）（全国通用）

- 1 - 知识梳理 双基自测 1 . 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P ( X=x i ) =p i , i= 1,2, … , n. (1) 均值 : 称 E ( X ) = 　　　　　　　　　　　　　　 为随机变量 X 的均值或数学期望 .   2 . 均值与方差的性质 (1) E ( aX+b ) = 　　　　　　 ;   (2) E ( ξ + η ) =E ( ξ ) +E ( η ); (3) D ( aX+b ) = 　　　　　　 .   x 1 p 1 +x 2 p 2 + … +x i p i + … + x n p n 标准差 aE ( X ) + b a 2 D ( X ) - 2 - 知识梳理 双基自测 3 . 两点分布与二项分布的均值与方差 (1) 若 X 服从两点分布 , 则 E ( X ) = 　　　　　　 , D ( X ) = 　　　　　 .   (2) 若 X~B ( n , p ), 则 E ( X ) = 　　　　　 , D ( X ) = 　　　　　 .   4 . 常用结论 (1) 如果 X 1 , X 2 相互独立 , 那么 E ( X 1 · X 2 ) =E ( X 1 )· E ( X 2 ) . (2) 均值与方差的关系 : D ( X ) =E ( X 2 ) -E 2 ( X ) . (3) 超几何分布的均值 : 若 X 服从参数为 N , M , n 的超几何分布 , 则 E ( X ) = p p (1 -p ) np np (1 -p ) 2 - 3 - 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 1 . 下列结论正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 均值是算术平均数概念的推广 , 与概率无关 . ( 　　 ) (2) 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 , 因此它们是一回事 . ( 　　 ) (3) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 , 方差或标准差越小 , 则偏离均值的平均程度越小 . ( 　　 ) (4) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布 , 参数 μ 是正态分布的均值 , σ 是正态分布的标准差 . ( 　　 ) × × √ √ - 4 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 2 . 设随机变量 X~B ( n , p ), 且 E ( X ) = 1 . 6, D ( X ) = 1 . 28, 则 ( 　　 ) A. n= 5, p= 0 . 32 B. n= 4, p= 0 . 4 C. n= 8, p= 0 . 2 D. n= 7, p= 0 . 45 C - 5 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 3 . 一个正四面体 ABCD 的四个顶点上分别标有 1 分 ,2 分 ,3 分和 4 分 , 往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为 X , 则 X 的均值为 　　　　　 .   - 6 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 4 . 已知 X 的分布 列为 设 Y= 2 X+ 3, 则 E ( Y ) 的值为 　　　　　 .   - 7 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 5 . 一批产品的二等品率为 0 . 02, 从这批产品中每次随机取一件 , 有放回地抽取 100 次 .X 表示抽到的二等品件数 , 则 D ( X ) = 　　　　　 .   1 . 96 解析 由题意可知抽到二等品的件数 X 服从二项分布 , 即 X~B (100,0 . 02 ), 其中 p= 0 . 02, n= 100 , 则 D ( X ) =np (1 -p ) = 100 × 0 . 02 × 0 . 98 = 1 . 96 . - 8 - 考点 1 考点 2 考点 3 例 1 某大学对参加了 “ 北京世圆会 ” 的该校志愿者实施 “ 社会教育实践 ” 学分考核 , 因该批志愿者表现良好 , 该大学决定考核只有合格和优秀两个等次 , 若某志愿者考核为合格 , 授予 0 . 5 个学分 ; 考核为优秀 , 授予 1 个学分 . 假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 , 他们考核所得的等次相互独立 . (1) 求在这次考核中 , 志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率 ; (2) 记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ξ , 求随机变量 ξ 的分布列和均值 E ( ξ ) . 思考 怎样求离散型随机变量 X 的均值与方差 ? - 9 - 考点 1 考点 2 考点 3 解 (1) 记 “ 甲考核为优秀 ” 为事件 A ,“ 乙考核为优秀 ” 为事件 B ,“ 丙考核为优秀 ” 为事件 C ,“ 志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀 ” 为事件 E , - 10 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 11 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 1 . 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1) 理解 X 的意义 , 写出 X 的全部可能取值 . (2) 求 X 取每个值的概率 . (3) 写出 X 的分布列 . (4) 由均值的定义求 E ( X ) . (5) 由方差的定义求 D ( X ) . 2 . 注意性质的应用 : 若随机变量 X 的均值为 E ( X ), 则对应随机变量 aX+b 的均值是 aE ( X ) +b , 方差为 a 2 D ( X ) . - 12 - 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 1 根据以往的经验 , 某工程施工期间的降水量 X ( 单位 : mm ) 对工期的影响如下表 : 历年气象资料表明 , 该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0 . 3,0 . 7,0 . 9 . 求 : (1) 工期延误天数 Y 的均值与方差 ; (2) 在降水量 X 至少是 300 的条件下 , 工期延误不超过 6 天的概率 . - 13 - 考点 1 考点 2 考点 3 解 (1) 由已知条件和概率的加法公式有 : P ( X< 300) = 0 . 3, P (300 ≤ X< 700) =P ( X< 700) -P ( X< 300) = 0 . 7 - 0 . 3 = 0 . 4, P (700 ≤ X< 900) =P ( X< 900) -P ( X< 700) = 0 . 9 - 0 . 7 = 0 . 2, P ( X ≥ 900) = 1 -P ( X< 900) = 1 - 0 . 9 = 0 . 1 . 所以 Y 的分布列为 于是 , E ( Y ) = 0 × 0 . 3 + 2 × 0 . 4 + 6 × 0 . 2 + 10 × 0 . 1 = 3, D ( Y ) = (0 - 3) 2 × 0 . 3 + (2 - 3) 2 × 0 . 4 + (6 - 3) 2 × 0 . 2 + (10 - 3) 2 × 0 . 1 = 9 . 8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3, 方差为 9 . 8 . - 14 - 考点 1 考点 2 考点 3 (2) 由概率的加法公式 , 得 P ( X ≥ 300) = 1 -P ( X< 300) = 0 . 7, 又 P (300 ≤ X< 900) =P ( X< 900) -P ( X< 300) = 0 . 9 - 0 . 3 = 0 . 6, 由条件概率 , 得 P ( Y ≤ 6 |X ≥ 300) =P ( X< 900 |X ≥ 300) - 15 - 考点 1 考点 2 考点 3 例 2 某新建公司规定 , 招聘的职工须参加不少于 80 h 的某种技能培训才能上班 . 公司人事部门在招聘的职工中随机抽取 200 名参加这种技能培训的数据 , 按时间段 [75,80),[80,85),[85,90),[90,95 ), [ 95,100 ]( 单位 :h) 进行统计 , 其频率分布直方图如图所示 . - 16 - 考点 1 考点 2 考点 3 (1) 求抽取的 200 名职工中参加这种技能培训时间不少于 90 h 的人数 , 并估计从招聘职工中任意选取一人 , 其参加这种技能培训时间不少于 90 h 的概率 ; (2) 从招聘职工 ( 人数很多 ) 中任意选取 3 人 , 记 X 为这 3 名职工中参加这种技能培训时间不少于 90 h 的人数 . 试求 X 的分布列、均值 E ( X ) 和方差 D ( X ) . 思考 如何简便地求二项分布的均值与方差 ? - 17 - 考点 1 考点 2 考点 3 解 (1) 依题意 , 参加这种技能培训时间在区间 [90,95) 内的职工人数为 200 × 0 . 06 × 5 = 60, 在区间 [95,100] 内的职工人数为 200 × 0 . 02 × 5 = 20, 故抽取的 200 名职工中参加这种技能培训时间不少于 90 h 的职工人数为 80 . 因此从招聘职工中任意选取一人 , 其参加这种技能培训时间不少于 90 h 的概率估计为 - 18 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 19 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 求随机变量 X 的均值与方差时 , 可首先分析 X 是否服从二项分布 , 如果 X~B ( n , p ), 那么用公式 E ( X ) =np , D ( X ) =np (1 -p ) 求解 , 可大大减少计算量 . - 20 - 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 2 某联欢晚会举行抽奖活动 , 举办方设置了甲、乙两种抽奖方案 , 方案甲的中奖率为 , 中奖可以获得 2 分 ; 方案乙的中奖率为 , 中奖可以获得 3 分 ; 未中奖则不得分 . 每人有且只有一次抽奖机会 , 每次抽奖中奖与否互不影响 , 晚会结束后凭分数兑换奖品 . (1) 若小明选择方案甲抽奖 , 小红选择方案乙抽奖 , 记他们的累计得分为 X , 求 X ≤ 3 的概率 ; (2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 , 问 : 他们选择何种方案抽奖 , 累计得分的均值较大 ? - 21 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 22 - 考点 1 考点 2 考点 3 (2)( 方法一 ) 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X 1 , 都选择方案乙抽奖中奖次数为 X 2 , 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为 E (2 X 1 ), 选择方案乙抽奖累计得分的均值为 E (3 X 2 ) . 因为 E (2 X 1 ) >E (3 X 2 ), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 , 累计得分的均值较大 . - 23 - 考点 1 考点 2 考点 3 ( 方法二 ) 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 Y 1 , 都选择方案乙所获得的累计得分为 Y 2 , 则 Y 1 , Y 2 的分布列为 : - 24 - 考点 1 考点 2 考点 3 例 3 甲、乙两家快递公司其 “ 快递小哥 ” 的日工资方案如下 : 甲公司规定底薪 70 元 , 每单抽成 1 元 ; 乙公司规定底薪 100 元 , 每日前 45 单无抽成 , 超过 45 单的部分每单抽成 6 元 . - 25 - 考点 1 考点 2 考点 3 (1) 设甲、乙快递公司的 “ 快递小哥 ” 一日工资 y ( 单位 : 元 ) 与送货单数 n 的函数解析式为 f ( n ), g ( n ), 求 f ( n ), g ( n ); (2) 假设同一公司的 “ 快递小哥 ” 一日送货单数相同 , 现从两家公司各随机抽取一名 “ 快递小哥 ”, 并记录其 100 天的送货单数 , 得到如下条形图 . 若将频率视为概率 , 回答下列问题 : ① 记乙快递公司的 “ 快递小哥 ” 日工资为 X ( 单位 : 元 ), 求 X 的分布列和数学期望 ; ② 小赵拟到两家公司中的一家应聘 “ 快递小哥 ” 的工作 , 如果仅从日收入的角度考虑 , 请你利用所学的统计学知识为他作出选择 , 并说明理由 . 思考 如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策 ? - 26 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 27 - 考点 1 考点 2 考点 3 ② 甲快递公司的 “ 快递小哥 ” 日平均送单数 为 42 × 0 . 2 + 44 × 0 . 4 + 46 × 0 . 2 + 48 × 0 . 1 + 50 × 0 . 1 = 45, 所以 甲快递公司的 “ 快递小哥 ” 日平均工资为 70 + 45 × 1 = 115( 元 ), 由 ① 知 , 乙快递公司的 “ 快递小哥 ” 日平均工资为 112 元 . 故仅从日收入的角度考虑 , 应选择甲快递公司 . - 28 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 利用均值、方差进行决策的方法 : 均值能够反映随机变量取值的 “ 平均水平 ”, 因此 , 当均值不同时 , 两个随机变量取值的水平可见分晓 , 由此可对实际问题作出决策判断 ; 若两个随机变量均值相同或相差不大 , 则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度 , 方差越小 , 则偏离均值的平均程度越小 , 进而进行决策 . - 29 - 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 3 某超市计划按月订购一种酸奶 , 每天进货量相同 , 进货成本每瓶 4 元 , 售价每瓶 6 元 , 未售出的酸奶降价处理 , 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验 , 每天需求量与当天最高气温 ( 单位 : ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶 ; 如果最高气温位于区间 [20,25), 需求量为 300 瓶 ; 如果最高气温低于 20, 需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划 , 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 , 得下面的频数分布表 : 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位 : 瓶 ) 的分布列 ; (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位 : 元 ), 当六月份这种酸奶一天的进货量 n ( 单位 : 瓶 ) 为多少时 , Y 的数学期望达到最大值 ? - 30 - 考点 1 考点 2 考点 3