专题03++函数性质灵活应用-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版）

专题03++函数性质灵活应用-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版）

专题03 函数性质灵活应用 一．陷阱描述 ‎1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。‎ ‎（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。‎ ‎（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。‎ ‎（3）单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。‎ 分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。‎ 隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。‎ 等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。‎ 迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。‎ ‎2.定义域限制陷阱 ‎3.特殊的函数值问题 ‎4.利用性质解决抽象函数问题 ‎5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用 ‎6.函数性质与导数综合 ‎7.数形结合求参数 ‎8.恒成立求参数 ‎9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）‎ ‎10. 分段函数的连接点（等价转化）‎ ‎11.主变元问题（迷惑性）‎ 二．陷阱例题分析及训练 ‎（一）函数图象问题 例1．函数f(x)＝lnx－x2的图像大致是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【点评】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ 练习1．【湖南省长沙市一中2019届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.先用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位： ）的图象大致是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设长为，则长为 ，又因为要将点围在矩形内，∴， 则矩形的面积为，当时，当且仅当时， ，当时，，，分段画出函数图形可得其形状与C接近，故选C.‎ 点评：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.‎ 练习2．若函数的图像如图所示，则实数的值可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 点评：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。‎ ‎2． 特殊函数值（概念类）‎ 例2．【衡水2019模拟试题】已知函数是定义在上的奇函数，且是偶函数，若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是定义在内的奇函数，是偶函数，‎ ‎，且 的周期为 故选 练习1．已知函数是单调函数，且对恒成立，则（ ）‎ A．0 B．6 C．12 D．18‎ ‎【答案】D ‎【解析】：∵函数是单调函数，且对恒成立，∴存在唯一的常数，使得，即，则，即，得，解得，则 ‎，故选D．‎ ‎3.定义域陷阱 例3．【福建2019模拟】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，且，当时，由在上单调递增，根据对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性可得，解得，当时，由在上单调递减，可得，解得，综上可得，故选B. ‎ 考点：1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性；2、不等式的解法.‎ ‎【方法】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性、不等式的解法，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.‎ 练习1.【河南省名校联盟2019届高三年级11月调研】已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则不等式 f（x）＜f（2x－1）的解集为 A．（－∞，）∪（1，＋∞） B．（－∞，－1）∪（－，＋∞）‎ C．（，1） D．（－1，－）‎ ‎【答案】A ‎【分析】函数图像关于轴对称，故函数在上递增，由此得到，两边平方后可解得这个不等式.‎ ‎【解析】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增，‎ 故 ，故选A.‎ ‎【点评】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.‎ ‎4.利用性质解决抽象函数问题 例4．【2019山东模拟】给出下列说法：‎ ‎①集合与集合是相等集合；‎ ‎②若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎③函数的单调减区间是；‎ ‎④不存在实数，使为奇函数；‎ ‎⑤若，且，则.‎ 其中正确说法的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①④⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】①中A集合与B集合都表示所有奇数组成的集合，是相等集合.②中若函数定义域为 由得即函数的定义域为，故错误.③函数的单调减区间是故错误.④函数的定义域为R，若函数为奇函数，则矛盾，所以对任意实数m,函数不会是奇函数，故④错误.⑤若则所以，故正确.选D.‎ 练习1．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为单调增函数；‎ ‎（3）若，求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．‎ ‎【解析】（1）利用赋值法进行求 的值； （2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明． （3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．‎ 试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），‎ 令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．‎ ‎（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，‎ ‎∴f（）＞0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，‎ 即f（x1）＞f（x2），‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．‎ ‎（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．‎ 若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，‎ 即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，‎ 即f（5）=1，‎ 则f（5）+f（5）=f（25）=2，‎ f（5）+f（25）=f（125）=3，‎ 即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键．‎ 练习2．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：‎ ‎，考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。‎ 以上命题正确的是 ．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①因为对定义域内任意，，满足，∴令，得，故①错误；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数．故②正确；③若 ，则 为常数，故数列 为等差数列，故③正确；④∵，，∴当时，‎ ‎，则，‎ ‎，…，则，若，则 为常数，则数列为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如，它的原型就是；②可通过赋特殊值法使问题得以解决，在该题中结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键.‎ ‎5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用 例5. 已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵的定义域为的奇函数，∴，即，‎ 把x换成x-2，可得：，又，‎ ‎∴，故函数周期为T=4‎ ‎，又 ‎∴，当时， ，‎ ‎∴‎ ‎【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；‎ ‎（2）若，则函数周期为 ‎（3）若，则函数的周期为；‎ ‎（4）若，则函数的周期为.‎ 练习1. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示：当时， ， ，；当时， ， ，，故当时，其解集为，∵是偶函数， 是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是，故选C.‎ 练习2. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 练习3.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，‎ 则的值为______. ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由，得，所以是周期为4的周期函数..‎ 又是定义在上的偶函数，所以.‎ 所以.‎ ‎6.函数性质与导数综合 例6．【2018雅安模拟】已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A．4 B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，则当时，；当时，，∴.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.‎ 考点：函数的图象和性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.‎ 练习1．若三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为三次函数在上是减函数，所以有，得故选A.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 练习2．已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 在 上单调递增;当 时, 在 上单调递增,所以由;当 时, ,由,因此的单调增区间为,所以由;综上实数的取值范围为 ,选B.‎ 练习3．设函数为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时， ，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，故函数是区间上的单调递减函数，又；，则函数 是奇函数，所以函数是区间上的单调递减函数；由题设中可得：，所以问题转化为在上有解，即在上有解，令，则，故在上答单调递增，则，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是对题意的理解，求解时先构造函数，后对其求导，判断其函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，然后将问题进行等价转化为在上有解，然后运用导数求出函数在上的值域，使得问题获解。‎ ‎7.数形结合求参数 例7. 【2019湖南师大附中模拟】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． ‎ ‎【陷阱提示】把不等式看成是关于的不等式..‎ ‎【防错良方】本题含有两个变量，因为对任意的不等式恒成立，所以主变元是，而不是，本题及其容易习惯把当主变元，看成是关于的二次不等式，从而我解题带来麻烦. ‎