2021高考数学大一轮复习考点规范练47圆的方程理新人教A版
考点规范练47 圆的方程
考点规范练A册第32页
基础巩固
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案:D
解析:由题意可得圆的半径r=(1-0)2+(1-0)2=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为( )
A.2 B.1 C.3 D.2
答案:B
解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[(x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.
3.若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是( )
A.x-y=0 B.x+y=0
C.x-y-2=0 D.x+y-2=0
答案:D
解析:因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.
4.(2019广西桂林高三一模)“方程x2+y2-4y+k=0表示一个圆”是“0
0,即k<4.k<400,且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )
A.22 B.2 C.223 D.23
答案:A
解析:如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),
设P(x,y),∵|PA||PB|=2,
∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,
两边平方并整理得:x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,
ymax=22,△PAB面积的最大值是12×2×22=22,故选A.
13.(2019宁夏银川模拟)方程|y|-1=1-(x-1)2表示的曲线是( )
A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆
答案:D
解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1.当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=1-(x-1)2表示的曲线是两个半圆,选D.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程;
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(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2,
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.
又P在双曲线y2-x2=1上,
从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.
由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.
此时,圆P的半径r=3.
由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.
此时,圆P的半径r=3.
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
高考预测
15.已知平面区域x≥0,y≥0,x+2y-4≤0恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为 .
答案:(x-2)2+(y-1)2=5
解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形,
所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
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