高考数学专题复习练习：第十二章 12_1概率和频率

高考数学专题复习练习：第十二章 12_1概率和频率

‎1．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A)＋P(B)＝1‎ ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎【知识拓展】‎ 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生频率与概率是相同的．(　×　)‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．(　×　)‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　)‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.(　×　)‎ ‎1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.‎ ‎2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)‎ A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 答案　B 解析　抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．‎ ‎3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)‎ A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8‎ 答案　B 解析　因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.‎ ‎4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(　　)‎ A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9‎ 答案　A 解析　依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.‎ ‎5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．‎ 答案　②‎ 解析　①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.‎ 题型一　事件关系的判断 例1　(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数；‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数；‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．‎ 上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．① B．②④ C．③ D．①③‎ ‎(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 答案　(1)C　(2)A　(3)A 解析　(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7‎ 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．‎ ‎(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．‎ ‎(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．‎ 思维升华　(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ‎①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．‎ ‎②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．‎ ‎(2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．‎ ‎　从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：‎ ‎①至少有1个白球与至少有1个黄球；‎ ‎②至少有1个黄球与都是黄球；‎ ‎③恰有1个白球与恰有1个黄球；‎ ‎④恰有1个白球与都是黄球．‎ 其中互斥而不对立的事件共有(　　)‎ A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 答案　B 解析　①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.‎ 题型二　随机事件的频率与概率 例2　(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．‎ 解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ 思维升华　(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．‎ ‎(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．‎ ‎　(2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.‎ ‎　　商品 顾客人数　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 解　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，‎ 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理，可得：‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ 题型三　互斥事件、对立事件的概率 命题点1　互斥事件的概率 例3　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？‎ 解　方法一　从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有 P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，‎ P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.‎ 方法二　设红球有n个，则＝，所以n＝4，即红球有4个．‎ 又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个．‎ 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．‎ 又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ＝，＝，＝.‎ 命题点2　对立事件的概率 例4　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A，B，C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＝.‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ 思维升华　求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：‎ ‎(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；‎ ‎(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．‎ ‎　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率．‎ 解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，‎ 所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，‎ 则H＝D＋E＋F，‎ 所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，‎ 所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎25．用正难则反思想求互斥事件的概率 典例　(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 思想方法指导　若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．‎ 规范解答 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.[2分]‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为 ‎＝1.9(分钟)．[6分]‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[11分]‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]‎ ‎1．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.‎ ‎2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是对立事件的为(　　)‎ A．① B．② C．③ D．④‎ 答案　B 解析　至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．‎ ‎3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　C 解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎4．(2016·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)‎ A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 答案　A 解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.‎ ‎5．(2016·蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为(　　)‎ A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3‎ 答案　C 解析　由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，‎ 又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.‎ ‎6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：‎ 卡片号码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 取到次数 ‎13‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎9‎ 则取到号码为奇数的卡片的频率是(　　)‎ A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37‎ 答案　A 解析　取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.‎ ‎7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：‎ ‎①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；‎ ‎②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；‎ ‎③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．‎ 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．‎ 答案　③　②　①‎ ‎8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458　569　683‎ ‎431　257　393　027　556　488　730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．‎ 答案　0.25‎ 解析　20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.‎ ‎9．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．‎ 答案　(，]‎ 解析　由题意可知⇒，⇒⇒

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