数学理卷·2018届辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三12月联考（2017

数学理卷·2018届辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三12月联考（2017

‎2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎3.已知，均为正实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知实数，满足不等式组则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的值为（ ）‎ A． B．或 C． D． ‎ ‎8.已知双曲线：（，）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数，则的大致图象为（ ）‎ ‎11.已知圆：与轴切于点，与轴切于点，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，，若对任意，均存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为 ．‎ ‎14.在直角梯形中，，，，，梯形所在平面内一点满足，则 ．‎ ‎15.定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为 ．‎ ‎16.已知首项为的数列满足（），且，数列中任意相邻两项的和不为0，若为数列的前项和，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且当时，取得最大值，试求的值．‎ ‎18.如图，，，，是圆柱底面圆周的四等分点，是圆心，，，与底面垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19.虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介．世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日，且从1989年开始，世界无烟日改为每年的5月31日．某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率．‎ ‎（1）从该市吸烟的市民中随机抽取3位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；‎ ‎（2）从该市吸烟的市民中随机抽取4位，表示愿意戒烟的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎20.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆于直线（）相交于不同的两点，，当 时，求实数的取值范围．‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，，对任意，，恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），曲线：（为参数）．‎ ‎（1）写出曲线，的普通方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，求点到直线：距离的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于不等式的解集为，求的取值范围．‎ ‎2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试数学试卷（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由已知得，即，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）．‎ 当（），即（）时，．‎ 又因为，所以，，‎ 故，，，‎ 所以．‎ ‎18.（1）证明：因为平面，平面，所以，‎ 因为，，，是圆柱底面圆周的四等分点，所以．‎ 又因为，，平面，所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎（2）解：据题意知，，两两垂直，以为原点，分别以，，为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，不妨设圆柱的高为2，则，，．‎ 所以平面的一个法向量是，‎ 平面的一个法向量是，‎ 所以，‎ 由图知二面角是锐二面角，所以它的大小是．‎ ‎19.解：（1）依题意，得任意抽取一位吸烟的市民愿意戒烟的概率为，‎ 从而任意抽取一位吸烟的市民不愿意戒烟的概率为，‎ 设“至少有一位烟民愿意戒烟”为事件，‎ 则，‎ 故至少有一位烟民愿意戒烟的概率．‎ ‎（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4．‎ ‎，，，，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎．‎ ‎20.解：（1）由题意，得，右焦点坐标，‎ 则，得或（舍去），‎ 则，‎ 所以所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）有，‎ 设，，‎ 则，，‎ 故，‎ 由，得，‎ 取中点为，由，有，‎ 则，‎ 故，所以，‎ 又因为，且，‎ 所以，且，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为．‎ 当时，，．‎ 所以当时，，函数的单调递增区间为；‎ 当，，函数的单调递减函数为．‎ ‎（2）令，“对任意，，恒成立”等价于“当时，对任意，，成立”．‎ 由于，‎ 当时，有，从而函数在上单调递增，‎ 所以当时，．‎ 因为，所以．‎ 当时，，若，则，显然不满足；‎ 当时，令，得，．‎ ‎（i）当，即时，对成立，所以在单调递增，所以，所以只需使，得，所以；‎ ‎（ii）当，即时，对成立，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以只需使，得或，‎ 又因为，所以；‎ ‎（iii）当，即时，对成立，单调递增，‎ ‎，不成立，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎22.解：（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的普通方程为．‎ ‎（2）设点，则 点到直线的距离，所以．‎ ‎23.解：（1）当时，．‎ 所以，即为，‎ 所以，所以，‎ 即所求不等式解集为．‎ ‎（2）“关于不等式（）的解集为”等价于“对任意实数和，”，‎ 因为，，‎ 所以，即，又，所以．‎