专题11 计数原理（理）（捷进提升篇）-2017年高考数学备考中等生百日捷进提升系列

专题11 计数原理（理）（捷进提升篇）-2017年高考数学备考中等生百日捷进提升系列

‎【背一背重点知识】‎ ‎1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．‎ ‎2．排列与组合的定义 ‎(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝．‎ ‎(2)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C＝或写成C＝．‎ ‎3．组合数的性质 ‎①C＝C；‎ ‎②C＝C＋C．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能：‎ ‎（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．‎ ‎（3）求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：‎ ‎①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎2．典型例题：‎ 例1．【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】西部某县委将位大学生志愿者(男女) 分成两组， 分配到两所小学支教， 若要求女生不能单独成组， 且每组最多人， 则不同的分配方案共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C 例2．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，6】现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种 A．36 B．9 C．18 D．15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：分配方案为211，其中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有种分法； 若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有种分法；因此共有种分法，选B．‎ 考点：排列组合 ‎【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）数学（理）试题】如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）‎ A．360种 B．720种 C．780种 D．840种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：先排，有种方法，再排有种方法，故一共有种．‎ ‎2．【江西省新余市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）‎ A．120 B．240 C．360 D．480【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用二项式定理求指定项 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0，1，2，…，n)．‎ ‎2．二项展开式的通项：Tr＋1＝Can－rbr，r＝0，1，2，…，n，其中C叫做二项式系数．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能：应用二项式定理关键是掌握通项公式，在应用通项公式时，要注意：‎ ‎①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；‎ ‎②是展开式中的第项，而不是第项；‎ ‎③公式中，的指数和为且不能随便颠倒位置；‎ ‎④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．‎ ‎2．典型例题：‎ 例1．【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】若，则等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ，所以，．‎ 例2．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试】已知，则二项式的展开式中的系数为 ．‎ ‎【答案】－6480‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】求展开式中指定项，如果能分解成两个一次因式之积即，则第一步把和分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由和的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项数相加减可得特定项．另一种方法是把看作是个相乘，求出特定的次数可以由怎么组合，如（其中是特定项的次数），则对应这个组合的项为，写出所有组合对应的项后相加即得．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟考试数学试题】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（ ）‎ A．15 B．45 C．135 D．405‎ ‎【答案】C ‎2．【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理）试题】已知的展开式中含的项的系数为30，则________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 二项式系数与项的系数 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．二项式系数的性质 ‎①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，‎ 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…．‎ ‎②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．‎ ‎2．各二项式系数的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；‎ b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…‎ ‎＝·2n＝2n－1．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能：在处理二项式系数或者各项的系数时，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ ‎2典型例题：‎ 例1．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，13】二项式展开式中，项的系数为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：二项式定理 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．‎ ‎（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．‎ 例2．【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，14】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．‎ ‎【答案】14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为的展开式中，各二项式系数的和为128，所以，即，所以 的展开式的通项为，令，则 ‎，即常数项是，故应填14．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，12】 的展开式中的的系数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，由得，系数是 ‎2．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，13】的展开式中项的系数为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的展开式中项的系数为，故填．‎ ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【江西南昌市2017届摸底考试，3】展开式中第3项的二项式系数为（ ）‎ A．6 B．-6 C．24 D．-24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：第3项的二项式系数为，选A．‎ ‎2．【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数学（理）试题】展开式中含项的系数为（ ）‎ A． B． C．112 D．1120‎ ‎【答案】C．‎ ‎3．【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数学（理）试题】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设位回文数个数为（为正整数），如11是2位回文数，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B． C． D．以上说法都不正确 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：A：，故A错误；根据对称性可知，，故B正确，C，错误，故选 ‎4．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，10】若二项式的展开式中的常数项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎5．【河北邯郸2017届9月联考，9】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）‎ A．360种 B．720种 C．780种 D．840种 ‎【答案】．‎ ‎6．二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）‎ A．5 B．6 C． 8 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为的展开式中项系数是，所以，解得，故选A．‎ ‎7．若的展开式的各项系数和为243，则的系数为（ ）‎ A．10 B．20 C．30 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意5个人可以有3，1，1和2，2，1两种分组方法，所以方法数为，答案为A．‎ ‎9．已知，在的展开式中，当项系数为时，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在的展开式中，含 的项为 ‎ ，故，因为，故，选B．‎ ‎10．定积分，则展开式中的常数项为（ ）‎ A．1 B．-1 C．20 D．-20‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以a=1，展开式的通项为，令6-2r=0，即r=3，所以常数项为．‎ ‎11．已知的展开式中第4项的系数与含的系数分别为与，则展开式所有项系数之和为（ ）‎ A．　　　　B．1　　　　C．32　　　　D．64‎ ‎【答案】A ‎12．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知，若，则的值为（ ）‎ A．0 B．-1 C．1 D． ‎ ‎【答案】B ‎（二）填空题（4*5=20分）‎ ‎13．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】展开式中的常数项是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：常数项为．‎ ‎14．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，15】 的展开式中的系数为______________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎15．【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎．‎ ‎16．华师一“长飞班”由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导老师，在该班级的一次活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题先列出关于正整数的方程，再对的取值情况进行讨论，以确定的值，进而得到的值．由题可知学生和老师总共提出的问题数是，‎ ‎，由于是偶数，从而是奇数，这样都为奇数，也就是为奇数，为偶数，下面对的取之进行讨论：当时，由式得，不合题意；当时，得，不合题意；当时，得，；当时，，式无解；综上，‎ 故答案应填： ‎