数学卷·2018届陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=y C．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y ‎3．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0‎ C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0‎ ‎4．语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎6．有下列4个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；‎ ‎②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；‎ ‎③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；‎ ‎④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（　　）‎ A．1 B．或 C． D．3或 ‎8．已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．45° C．30° D．以上都不对 ‎9．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（　　）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎10．已知双曲线方程为x2﹣=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎11．在△ABC中，B=30°，C=120°，则a：b：c=　　．‎ ‎12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为　　．‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　　．‎ ‎15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC．‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．‎ ‎19．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=y C．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意设抛物线方程，代入点（﹣2，3），即可求得抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=﹣2p′x（p＞0，p′＞0）‎ ‎∵抛物线过点（﹣2，3）‎ ‎∴22=2p×3或32=﹣2p′×（﹣2）‎ ‎∴2p=或2p′=‎ ‎∴x2=y或y2=﹣x 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0‎ C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 ‎【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．‎ ‎∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立．‎ 若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．‎ ‎∴语句甲是语句乙的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．‎ ‎【解答】解： ⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0‎ 利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．有下列4个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆否命题；‎ ‎②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题；‎ ‎③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；‎ ‎④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据四种命题之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①若x+y=0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确，‎ ‎②“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题为若a2＞b2，则a＞b，若a=﹣2，b=0．满足a2＞b2，但a＞b不出来了，故②为假命题；‎ ‎③“若x≤﹣3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题为若x＞﹣3，则x2﹣x﹣6≤0，当x=4时，x2﹣x﹣6≤0不成立，故③为假命题．‎ ‎④若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则ab是无理数． ‎ 该命题是假命题．取a=，b=，则 ab===2．为有理数． 所以该命题是假命题．‎ 故真命题的个数为1个，‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（　　）‎ A．1 B．或 C． D．3或 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】分别看焦点在x轴和y轴时长半轴和短半轴的长，进而求得c，进而根据离心率求得m．‎ ‎【解答】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=‎ 由e=，得=，即m=3‎ 当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=‎ 由e=，得=，‎ 即m=．‎ 故选D ‎　‎ ‎8．已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．45° C．30° D．以上都不对 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】把已知向量等式变形，两边平方后展开数量积公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵++=0，且||=2，||=3，||=，‎ ‎∴，设向量与的夹角为θ，‎ 则=，‎ 即19=4+2×2×3×cosθ+9，‎ ‎∴cosθ=，则θ=60°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（　　）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，‎ ‎∴=1‎ ‎∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）‎ 故选C ‎　‎ ‎10．已知双曲线方程为x2﹣=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线x2﹣=1的渐近线方程y=±2x，结合双曲线的性质讨论，直线l与双曲线相切，有两条，一条为斜率不存在的和另一条斜率存在，由判别式为0，解得斜率；直线l与渐近线平行的有两条，共有4条．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=±2x，‎ ‎①直线l：x=1与双曲线只有一个公共点；‎ ‎②过点P （1，1）平行于渐近线y=±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点；‎ ‎③设过P的切线方程为y﹣1=k（x﹣1）与双曲线x2﹣=1联立，‎ 可得（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣（1﹣k）2﹣4=0，‎ 由△=0，即4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2﹣4]=0，解得k=‎ ‎，直线l的条数为1．‎ 综上可得，直线l的条数为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎11．在△ABC中，B=30°，C=120°，则a：b：c=　1：1：　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵B=30°，C=120°，∴A=30°．‎ 由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin30°：sin120°=：： =1：1：．‎ 故答案为：1：1：．‎ ‎　‎ ‎12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．‎ ‎【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则 ‎∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH ‎∴∠OEH为异面直线所成的角．‎ 在△OEH中，OE=，HE=，OH=．‎ 由余弦定理，可得cos∠OEH===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为　3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=x+2y为y=﹣，‎ 结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，‎ zmin=1+2×1=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　﹣2　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q ‎【解答】解：由题意可得，q≠1‎ ‎∵S3+3S2=0‎ ‎∴‎ ‎∴q3+3q2﹣4=0‎ ‎∴（q﹣1）（q+2）2=0‎ ‎∵q≠1‎ ‎∴q=﹣2‎ 故答案为：﹣2‎ ‎　‎ ‎15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本小题满分为8分）‎ 解：在△ABC中，∵a=3，c=2，B=150°，‎ ‎∴b2=a2+c2﹣2accosB=（3）2+22﹣2•3•2•（﹣）=49．‎ ‎∴解得：b=7，‎ ‎∴S△ABC=acsinB=×3×2×=．‎ ‎　‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．‎ ‎【解答】解：a1=S1=3+2=5，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，‎ 当n=1时，2n﹣1=1≠a1，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；‎ 则离心率e==，‎ ‎∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；‎ ‎∴a=4，‎ ‎∴c=×4=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；‎ ‎∴椭圆的方程是．‎ ‎　‎ ‎19．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．‎ ‎【解答】解：若p真，则a＞1；‎ 若q真，则△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4；‎ ‎∵p且q为假，p或q为真，∴命题p，q一真一假；‎ ‎∴当p真q假时，，∴a≥4；‎ 当p假q真时，，∴0＜a≤1；‎ 综上，a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．‎ ‎【解答】解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），‎ ‎=（2，2，0），=（0，1，1）．‎ 设平面BDE的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令z=1，得y=﹣1，x=1．∴平面BDE的一个法向量为=（1，﹣1，1）．‎ 又∵C（0，2，0），A（2，0，0），=（﹣2，2，0），且AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面PDB的一个法向量为=（1，﹣1，0）．‎ 设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α，‎ 则cosα===．‎ ‎∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．‎ ‎　‎