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文档介绍
专题02+平面向量与复数(仿真押题)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题
专题02 平面向量与复数(仿真押题) 2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题 1.在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=( ) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析:因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以==(++)=(++)=+,故选B. 答案:B 2.已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则等于( ) A.- B. C.-2 D.2 解析:∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则,故=-2. 答案:C 3.如图,在等腰直角三角形ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过点C作AB的垂线l,P为垂线上任一点,则·(-)=( ) A.- B. C.- D. 答案:A 4.设向量a=(cos α,-1),b=(2,sin α),若a⊥b,则tan=( ) A.- B. C.-1 D.0 解析:由已知可得,a·b=2cos α-sin α=0,∴tan α=2,tan==,故选B. 答案:B 5.如图,在半径为1,圆心角为90°的直角扇形OAB中,Q为上一点,点P在扇形内(含边界),且=t+(1-t)·(0≤t≤1),则·的最大值为( ) A. B. C. D.1 答案:D 6.设复数z满足=i(i为虚数单位),则z2 016=( ) A.21 008 B.21 008i C.-21 008 D.-21 008i 解析:由=i得z-i=zi+i,z===-1+i,则z2=(-1+i)2=-2i,从而z2 016=(z2)1 008=(-2i)1 008=21 008×i1 008=21 008×(i4)252=21 008.故选A. 答案:A 7.如图在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 、,则复数的值是( ) A.﹣1+2i B.﹣2﹣2i C.1+2i D.1﹣2i 【答案】A 8.设复数(为虚数单位),则的共轭复数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以. 9.复数满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】由题意得,,∴,故选A. 10.函数y=tan的部分图象如图所示,则(+)·=( ) A.4 B.6 C.1 D.2 解析 由条件可得B(3,1),A(2,0), ∴(+)·=(+)·(-)=2-2=10-4=6. 答案 B 11.已知a,b均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为( ) A. B. C. D. 解析 因为a,b均为单位向量,所以(2a+b)·(a-2b)=2-2-3a·b=-,解得a·b=,所以cos〈a,b〉==,又〈a,b〉∈,所以〈a,b〉=. 答案 A 12.已知两个非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=3,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=________. 13. 如图,在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·=________. 解析 法一 如图,建立平面直角坐标系. 由题意知:A(3,0),B(0,3), 设M(x,y),由=2, 得解得 即M点坐标为(2,1), 所以·=(2,1)·(0,3)=3. 法二 ·=(+)·=2+×=2+·(-)=2=3. 答案 3 14.已知A,B,C是平面上不共线的三点,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心). 15.已知向量a=,b=,且x∈. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值. 解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x, |a+b|= ==2, 因为x∈,所以cos x≥0, 所以|a+b|=2cos x. (2)由(1),可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x, 即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2. 因为x∈,所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x=λ时,f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=; ③当λ>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾;综上所述λ=. 16.设复数z=a+i(i是虚数单位,a∈R,a>0),且|z|=. (Ⅰ)求复数z; (Ⅱ)在复平面内,若复数+(m∈R)对应的点在第四象限,求实数m取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ), ,即,解得,又, ,; (Ⅱ)则,, 又复数 对应的点在第四象限,得,. 17.已知平面上三个向量,其中. (1)若,且,求的坐标; (2)若,且,求与夹角的余弦值. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)因为,所以设,,,所以或. (2)因为,所以,,所以. 18.已知椭圆的离心率为,直线l:y=x+2与以原点O为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆O相切. (1)求椭圆C的方程; (2)求椭圆C与直线y=kx(k>0)在第一象限的交点为A. ①设,且,求k的值; ②若A与D关于x的轴对称,求△AOD的面积的最大值. 【答案】(1)(2)①② 【解析】 解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2, 因为直线l:x﹣y+2=0与圆O相切,故有, 所以. 因为,所以有a2=3c2=3(a2﹣b2),即a2=3. 所以椭圆C的方程为. (2)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则y0=kx0. 由解得, ①∵,∴(k=0舍去). ②∵, (当且仅当时取等号), ∴S△AOD的最大值为. 19.(1)向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|和a+b 与c的夹角; (2)设O为△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零实数x,y满足=x+y,且x+2y=1,求cos ∠BAC的值. (2)设AC的中点为D,连接OD(图略), ∵=x+y=x+2y, 又x+2y=1,∴O,B,D三点共线. 由O为△ABC外心,知OD⊥AC,BD⊥AC, 在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos ∠BAC==. 20.已知向量a=(1,sin ωx),b=(cos2 ωx-1,cos ωx)(ω>0),设函数f(x)=a·b的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求函数f(x)在上的单调区间. 20.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n. (1)求角B的大小; (2)若b=,求a+c的取值范围. (2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-2=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号, ∴(a+c)2≤4,∴a+c≤2, 又a+c>b=,∴a+c∈(,2]. 查看更多