甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

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甘肃省西北师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

西北师大附中2019—2020学年度第一学期期中考试试题 高一数学 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合的补集,再与求交集即可.‎ ‎【详解】因为,,‎ ‎,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.‎ ‎2.下列函数中,在区间上为增函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据基本初等函数的图象与性质,即可判断函数的单调性,从而得出结论.‎ ‎【详解】解:对于A,函数y在定义域[0,+∞)上为单调增函数,满足题意;‎ 对于B,函数y=(x﹣1)2在区间(﹣∞,1)上是单调减函数,(1,+∞)上是单调增函数,不满足题意; ‎ 对于C,函数y=2﹣x在定义域R上为单调减函数,不满足题意;‎ 对于D,函数在定义域(0,+∞)上为单调减函数,不满足题意.  ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.‎ ‎3.下列四组函数中,表示同一函数的是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同,‎ 所以不是同一函数;‎ 因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数,‎ 故应选A.‎ ‎4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x定义域和值域相同的是( )‎ A. y=x B. y=lg x C. y=2x D. y=‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D.‎ 考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎5.已知在上是偶函数,且满足,当时,,则( )‎ A. 8 B. ‎2 ‎C. D. 50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的周期性以及函数的解析式,转化求解即可.‎ ‎【详解】在R上是偶函数,且满足,故周期为3‎ 当时,,‎ 则.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用,利用函数的解析式求解函数值,考查计算能力.‎ ‎6.若是方程的一个解,则所在的区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先代入特殊值0,﹣1进行比较,然后画出两个函数图象,根据图象交点和计算可得零点所在的区间.‎ ‎【详解】解:由题意,‎ 当x=0时,20=1>02=0,‎ 当x=﹣1时,2﹣1(﹣1)2=1.‎ 再根据两个函数图象:‎ 则两个函数的交点,即方程的解必在区间(﹣1,0)内.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数画图能力,代入特殊值方法的应用,以及零点判定定理的应用.本题属中档题.‎ ‎7.已知幂函数的图像过点,则等于( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求得,根据图像过点求得,由此求得的值.‎ ‎【详解】由题知是幂函数,则.又图像过点,则由知,故.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查指数运算,属于基础题.‎ ‎8.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t=x2﹣ax﹣‎3a,则得函数f(x)=log2t,由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得 ,由此求得a的范围.‎ ‎【详解】解:令t=x2﹣ax﹣‎3a‎3a,则由题意可得函数f(x)=log2t,‎ 函数t在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数且t>0恒成立.‎ ‎∴,求得﹣4≤a<4,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质,注意复合函数“同增异减”的应用,属于中档题.‎ ‎9.若函数,则的图象可以是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中函数知,当x=0时,y=2,图象过点(0,2),又依据指数函数的性质知,此函数在(0,+∞)上的函数值为正,根据此两点可得答案.‎ ‎【详解】解:观察四个图的不同发现, 图中的图象过(0,2),‎ 而当x=0时,y=2,故排除;‎ 又当1﹣x<1,即x>0时,f(x)>0.‎ 由函数y=f(1﹣x)的性质知,在(0,+∞)上的函数值为正,排除B.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象与性质、数形结合,解题时应充分利用函数的图象,掌握其的性质.‎ ‎10.若函数在上的单调函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】解:∵a>0,∴当x<﹣1时,函数f(x)为增函数,‎ ‎∵函数在R上的单调函数,‎ ‎∴函数为单调递增函数,‎ 则当x≥﹣1时,f(x)=()x,为增函数,‎ 则1,即0<a<1,‎ 同时a≥﹣‎2a+1,‎ 即‎3a≥1,‎ 即a,‎ 综上a<1,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用,根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键.‎ ‎11.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由函数的奇偶性分析可得f(log‎2a)+f(﹣log‎2a)<‎2f(1)⇒f(log‎2a)<f(1)⇒f(|log‎2a|)<f(1),结合函数的单调性分析可得|log‎2a|<1,即﹣1<log‎2a<1,解可得a的取值范围,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(log‎2a)=f(﹣log‎2a),‎ 则f(log‎2a)+f(﹣log‎2a)<‎2f(1)⇒f(log‎2a)<f(1)⇒f(|log‎2a|)<f(1),‎ 又由f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,‎ 则有|log‎2a|<1,即﹣1<log‎2a<1‎ 解可得:a<2,‎ 即a的取值范围为(,2);‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.‎ ‎12.对任意实数定义运算“ “:,设,若函数的图象与轴恰有三个交点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用新定义化简f(x)解析式,做出f(x)的函数图象,根据图象即可得出k的范围.‎ ‎【详解】解:解x2﹣1﹣(4+x)≥1得x≤﹣2或x≥3,‎ ‎∴f(x),‎ 做出f(x)的函数图象,如图所示:‎ ‎∵y=f(x)+k有三个零点,‎ ‎∴﹣1<﹣k≤2,即﹣2≤k<1.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系,不等式的解法,属于中档题.‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】(﹣3,0)∪(2,3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数y的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.‎ ‎【详解】函数,令,‎ 解得,即﹣3<x<0或2<x<3;‎ 所以函数y的定义域为(﹣3,0)∪(2,3).‎ 故答案为(﹣3,0)∪(2,3)‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题,考查二次不等式的解法,是基础题.‎ ‎14.方程的解都在内,则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】5≤k<10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据f(x)=2x+3x在[1,2)内是增函数,然后代入值即可得到k的取值范围.‎ ‎【详解】由题意,可知:f(x)=2x+3x在[1,2)内是增函数,‎ 又f(1)=21+3×1=5,f(2)=22+3×2=10.∴5≤k<10.‎ 故答案为5≤k<10‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域,属基础题.‎ ‎15.在上有意义,则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】k<1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意函数(4﹣k•2x)在(﹣∞,2]上,恒为正值,(4﹣k•2x)>0恒成立,解答即可.‎ ‎【详解】由题意函数(4﹣k•2x)在(﹣∞,2]上,恒为正值,‎ 即:(4﹣k•2x)>0恒成立,k,‎ 因为2x在(﹣∞,2]上是增函数,∴在(﹣∞,2]上是减函数,‎ 所以k<1‎ 故答案为:k<1‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的定义域,函数恒成立问题,指数函数单调性等知识,是中档题.‎ ‎16.已知函数,,若对任意,总存在,使成立,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案.‎ ‎【详解】由题意,函数..‎ 根据二次函数的性质,可得当时, ,记.‎ 由题意当时,在上是增函数,‎ ‎∴,记.‎ 由对任意,总存在,使成立,所以 则,解得: ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用,以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用,其中解答中把对任意的,总存在,使 成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于中档试题.‎ 三.解答题:本大题共5小题,每题14分,共70分.‎ ‎17.已知集合,‎ ‎(1)若,求实数的值;‎ ‎(2)设全集为,若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2),或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解一元二次不等式求得和,根据两者交集范围列式,由此求得的值.(2)先求得集合的补集,再根据列式,由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)因为,,,‎ 所以,所以.‎ ‎(2),或.‎ 因为,所以,或,‎ 所以,或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、补集和子集的概念及运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎18.已知函数是奇函数 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)当时,求不等式成立,求取值范围;‎ ‎【答案】(1)k=﹣1;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可根据条件得出f(x)是R上的奇函数,从而得出f(0)=0,从而求出k=﹣1;‎ ‎(2)f(x)=ax﹣a﹣x,求导得出f′(x)=(ax﹣a﹣x)lna,可讨论a,根据导数符号判断f(x)在(﹣1,1)上的单调性,这样根据f(x)是奇函数以及f(x)的单调性即可由不等式f(1﹣m)+f(1﹣‎2m)<0得出关于m的不等式组,解不等式组即可得出m的范围.‎ ‎【详解】(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=1+k=0,∴k=﹣1;‎ ‎(2)f(x)=ax﹣a﹣x,f′(x)=(ax+a﹣x)lna,‎ ‎∴①0<a<1时,f′(x)<0,f(x)在(﹣1,1)上单调递减,且f(x)是奇函数,‎ ‎∴由f(1﹣m)+f(1﹣‎2m)<0得,f(1﹣m)<f(‎2m﹣1),‎ ‎∴,解得;‎ ‎②a>1时,f′(x)>0,f(x)在(﹣1,1)上单调递增,且f(x)是奇函数,‎ ‎∴由f(1﹣m)+f(1﹣‎2m)<0得,f(1﹣m)<f(‎2m﹣1),‎ ‎∴,解得,‎ 综上:当0<a<1时,m的取值范围为,当a>1时,m的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,根据导数符号判断函数单调性的方法,基本初等函数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎19. 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售,每天可以卖出100个,若这种商品的售价每个上涨1元,则销售量就减少10个.‎ ‎(1)求售价为13元时每天的销售利润;‎ ‎(2)求售价定为多少元时,每天的销售利润最大,并求最大利润.‎ ‎【答案】(1)350 (2)售价定为14元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题设知销售价为13元时每天销售量为100-(13-10)×8=76个,由此能求出销售价为13元时每天的销售利润;(2)设出商品的单价,表示出涨价后减少的销售量,求出利润,然后通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况 试题解析:(1)依题意,可知售价为13元时,销售量减少了:(个)‎ 所以,当售价为13元时每天的销售利润为:‎ ‎(元)‎ ‎(2)设售价定为元时,每天的销售利润为元,依题意,得 ‎()‎ ‎∴ 当时,取得最大值,且最大值为.‎ 即售价定为14元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元. ‎ 考点:函数模型的选择与应用 ‎20.已知函数,函数.‎ ‎(1)求函数与的解析式,并求出,的定义域;‎ ‎(2)设,试求函数的定义域,及最值.‎ ‎【答案】(1)f(x)=log3(x+2)﹣1,定义域[﹣1,7];g(x)=log3x+2,定义域[1,9];(2)定义域[1,3],最小值6,最大值13.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令t=3x﹣2,则x=log3(t+2)﹣1,根据已知可求f(x),进而可求g(x);‎ ‎(2)结合(1)可求h(x),然后结合函数的定义域的要求有,解出x的范围,结合二次函数的性质可求.‎ ‎【详解】(1)令t=3x﹣2,则x=log3(t+2)﹣1,∵x∈[0,2],∴t∈[﹣1,8],‎ ‎∵f(3x﹣2)=x﹣1(x∈[0,2]),∴f(t)=log3(t+2)﹣1,t∈[﹣1,7],‎ ‎∴f(x)=log3(x+2)﹣1,x∈[﹣1,7],即f(x)的定义域[﹣1,7],‎ ‎∵g(x)=f(x﹣2)+3=log3x+2,∴x﹣2∈[﹣1,7],∴x∈[1,9],即g(x)的定义域[1,9].‎ ‎(2)∵h(x)=[g(x)]2+g(x2)=(log3x+2)2+26log3x+6,‎ ‎∵,∴1≤x≤3,即函数y=h(x)的定义域[1,3],∵0≤log3x≤1,‎ 结合二次函数的性质可知,当log3x=0时,函数取得最小值6,‎ 当log3x=1时,函数取得最大值13.‎ ‎【点睛】本题考查了利用了换元法求函数的解析式及函数的定义域的求解,二次函数值域的求解,属于中档试题.‎ ‎21.已知函数在上是奇函数.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)令,若关于的方程有唯一实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)或 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)因为所以所以 ‎(2),‎ 所以,即 ‎(3)因为,‎ 即,所以(*)‎ 因为关于的方程有唯一实数解,所以方程(*)有且只有一个根,‎ 令,则方程(*)变为有且只有一个正根,‎ ‎①方程有且只有一个根且是正根,则 所以,当时,方程的根为满足题意;‎ 当时,方程的根为不满足题意 ‎②方程有一正根一负根,则,所以 ‎③方程有一正根一零根,则,所以,此时满足题意 综上,的范围为或 ‎ ‎
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