数学文卷·2018届山东省青岛市西海岸新区胶南一中高三上学期第二次月考（2017

数学文卷·2018届山东省青岛市西海岸新区胶南一中高三上学期第二次月考（2017

‎2017-2018学年度胶南一中高三12月数学（文）月考卷 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知满足，则目标函数的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 5 D. 6‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ ‎6．下列结论中正确的是（ ）‎ A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“若，则.”的否命题是“若，则”‎ C. “”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件 D. 命题：“， ”的否定是“， ”‎ ‎7．函数是定义在上的奇函数，当时， ，则的值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎8．函数的部分图像如图所示，若将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），在向右平移得到的图像，则的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B. 3π C. D. 2π ‎12．设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．设是等差数列的前项和，若，则 . ‎ ‎14．已知向量的夹角为，且， ，则__________．‎ ‎15．已知中， 于，三边分别是，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体中， 、、、的面积分别是，二面角、、的度数分别是，则__________．‎ ‎16．在中，若，则的最大值是__________．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，，，为边中点， AD=1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18．已知某中学高三文科班学生共有人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取人进行成绩抽样统计，先将人按进行编号．‎ ‎（Ⅰ）如果从第行第列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的个人的编号；（下面摘取了第行 至第行）‎ ‎（Ⅱ）抽的人的数学与地理的水平测试成绩如下表：‎ 人数 数学 优秀 良好 及格 地 理 优秀 ‎7‎ ‎20‎ ‎5‎ 良好 ‎9‎ ‎18‎ ‎6‎ 及格 ‎4‎ 成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有人，若在该样本中，数学成绩优秀率为，求的值．‎ ‎（Ⅲ）将的表示成有序数对，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对的概率．‎ ‎19．已知数列的各项为正数，其前项和满足.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项的和；‎ ‎20．如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点， ， .现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上. ‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.‎ ‎21．已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号 ‎22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 CBCBB DCBDA AC 6 2 ‎ ‎11、结论：外接球球心在有公共斜边的直角三角形的斜边上，三角形A′BC和三角形BCD都是直角三角形，所以球心O在BC中点上。‎ ‎12在上有解在有解．令，则，∴当时，，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； ∴当时，取得极小值，也是最小值， ∴，∴‎ ‎17、（1）在中，，， ， ‎ ‎∴.‎ ‎．‎ ‎（2）为的中点，， ，即，化简得 ①， ‎ 由（1）知 ②，联立①②解得，， ‎ ‎.‎ ‎18、（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为．‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅲ）由题意，知，且．‎ 故满足条件的有： ，‎ ‎， 共14组．‎ 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有： ，‎ ‎， 共6组.‎ ‎∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.‎ ‎19．（1）当时， .‎ 当时， ，化简得，所以；‎ ‎（2）由（Ⅰ）知， .‎ 则 所以 ‎ ‎20．（1）证明：因为二面角的大小为90°，则，‎ 又，故平面，又平面，所以；‎ 在直角梯形中， ， ， ，‎ 所以，又，所以，即；又，故平面，‎ 因为平面，故.‎ ‎（2）设到平面的距离为，因为，且，故，故，点到平面的距离为.‎ ‎21．（1），‎ 因为曲线在点处的切线与直线的垂直，所以，即，解得.所以.‎ ‎∴当时， ， 在上单调递减；‎ 当时， ， 在上单调递增；‎ ‎∴当时， 取得极小值，∴极小值为.‎ ‎（2）令 ，‎ 则，欲使在区间上上存在，使得，‎ 只需在区间上的最小值小于零.‎ 令得， 或.‎ 当，即时， 在上单调递减，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，∴；‎ 当，即时， 在上单调递增，则的最小值为，‎ ‎∴，解得，∴；‎ 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ 则的最小值为，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，此时不成立.‎ 综上所述，实数的取值范围为 ‎22．解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知 ‎|OP|= ， =.由|OP|=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB面积 当时，S取得最大值.‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎23．解：（Ⅰ）不等式，即，即，‎ ‎，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）‎ 故的最大值为，‎ 因为对于，使恒成立，所以，即，解得，∴．‎