上海市17区县2013届高三（数学理科）分类汇编：专题一 函数
专题一 函数
2013年2月
（松江区2013届高三一模 理科）18．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
18．D
（浦东新区2013届高三一模 理科）16．已知函数，若函数为奇函数，则实数为 （ ）
（黄浦区2013届高三一模 理科）17．若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是
偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；
④在上单调递增．其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
17．B
（青浦区2013届高三一模）18．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………………………………（ A ）．
.恒为正数 恒为负数 .恒为0 .可正可负
（浦东新区2013届高三一模 理科）18．定义域为的函数图象的两个端点为，向量，是图象上任意一点，其中. 若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值．下列定义在
上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）
（松江区2013届高三一模 理科）11．给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）11．③
（松江区2013届高三一模 理科）15．过点且与直线平行的直线方程是
A． B．
C． D．
15．D
（杨浦区2013届高三一模 理科）9. 下列函数：① , ②, ③ ， ④
⑤中,既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为 （写出符合要求的所有函数的序号）. 9.③⑤；
（（虹口区2013届高三一模）17、定义域为的函数有四
个单调区间，则实数满足（ ）
17、C；
（奉贤区2013届高三一模）18、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得
对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”． 有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；
②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；
18．A
（奉贤区2013届高三一模）16、已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（ ）
[来源:Z*xx*k.Com]
16． C
（虹口区2013届高三一模）11、已知正实数、满足，则的最小值等于 ．11、9；
（奉贤区2013届高三一模）11、（理）设函数的反函数是，且过点，则经过点 ． 11．理
（金山区2013届高三一模）1．函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________．1．(定义域不写不扣分)
（黄浦区2013届高三一模 理科）9．已知函数，且函数
有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．9．；
（浦东新区2013届高三一模 理科）3．函数的定义域为 .
（嘉定区2013届高三一模 理科）14．设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是___________．
14．
（青浦区2013届高三一模）2．函数的反函数
．
（松江区2013届高三一模 理科）3．若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝ ▲ ．3． 1
（奉贤区2013届高三一模）11、（文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___．文
（浦东新区2013届高三一模 理科）5．函数（）的反函数是 （） .
（黄浦区2013届高三一模 理科）12．已知函数(且)满足，若是的反函数，
则关于x的不等式的解集是 ．12．；
（金山区2013届高三一模）13．若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______． 13．4
（奉贤区2013届高三一模）7、设函数为奇函数，则 ．7．
（嘉定区2013届高三一模 理科）18．设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为……………………（ ）
A． B． C． D．
18．D
（虹口区2013届高三一模）13、设定义在上的函数是最小正周期为
的偶函数，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点个数为 ． 13、20；
（杨浦区2013届高三一模 理科）1. 若函数的反函数为，则 ．1. 0；
（奉贤区2013届高三一模）9、（理）已知函数那么的值为 ．9．理
（青浦区2013届高三一模）12．已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____ ．
（奉贤区2013届高三一模）9、（文）已知函数 若，则_________． 文或
（崇明县2013届高三一模）5、已知是函数的反函数，则 . 5、
（宝山区2013届期末）7.将函数的图像按向量（）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .
（崇明县2013届高三一模）14、已知,，若同时满足条件：①对于任意，
或成立； ②存在，使得成立．则的取值范围是
. 14、
（奉贤区2013届高三一模）1、关于的方程的一个根是，则_________．1．
（长宁区2013届高三一模）2、记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 2、
（奉贤区2013届高三一模）5、已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．
（宝山区2013届期末）8.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 _．0
（长宁区2013届高三一模）5、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），
则 5、
（宝山区2013届期末）14.设是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离. 若点A(-1,1),B在上，则的最小值为 ．
（长宁区2013届高三一模）13、（理）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 13、（理） ，
（宝山区2013届期末）
18.已知则下列函数的图像错误的是……………………（ D ）
(A)的图像 (B)的图像 (C)的图像 (D)的图像
（崇明县2013届高三一模）15、设函数，则下列结论错误的是………………………………………（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
15、
（长宁区2013届高三一模）18、（理）函数，的图象可能是下列图象中的 （ ）
18、
（黄浦区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”
．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与+2；②与． [来源:Zxxk.Com]
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴是公差为1的等差数列，
故，又，故． ………………………………3分
（2）当时，，令，可得，
解得，即时，， ………………………4分
故在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…， …………………6分
故为奇数时，在上的取值范围是；
当为偶数时，在上的取值范围是． …………………8分
所以当时，在上的最大值为，最小值为3；
当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；
当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分
（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即对一切恒成立，[来源:Z+xx+k.Com]
所以…，
故． …………………………………14分
若，则必存在，使得，
由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
（金山区2013届高三一模）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
21．解：(1) 当时，，…………………………………………1分
任取0
0，即f(x1)>f(x2)………………………………………5分
所以函数f(x)在上是减函数；………………………………………………………6分
(2)，……………………………………………………7分
当且仅当时等号成立，…………………………………………………………8分
当，即时，的最小值为，………………………10分
当，即时，在上单调递减，…………………………………11分
所以当时，取得最小值为，………………………………………………13分
综上所述： ………………………………………14分
（浦东新区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
设函数
（1）求函数和的解析式；
（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义，且
① 当时，求的解析式；
已知下面正确的命题：当时，都有恒成立.
② 对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围；
若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和.
解：（1）函数
函数 ……4分
（2），……6分
当时，则有恒成立.
当时，当且仅当时有恒成立.
综上可知当或时，恒成立；………………………8分
（3）① 当时，对于任意的正整数，都有
故有…13分
② 由①可知当时，有，根据命题的结论可得，
当时，有，
故有.
因此同理归纳得到，当时，
……………………15分
对于给定的正整数，时，
解方程得，，
要使方程在上恰有个不同的实数根，
对于任意，必须恒成立，
解得, 若将这些根从小到大排列组成数列，
由此可得 .……………………17分
故数列所有项的和为：
.……18分
（长宁区2013届高三一模）19、（本题满分12分）已知，满足．
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（2）（理）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
19、解（1）由得 …………3分
即
所以，其最小正周期为． …………6分
（2）（理）因为，则
.因为为三角形内角，所以…………9分
法一：由正弦定理得，，
，，，
所以的取值范围为 …………12分
法二：，因此，
因为，所以，，
.又，所以的取值范围为 …………12分
（文）（2）,因此的最小值为，…………9分
由恒成立，得，
所以实数的取值范围是. ………12分
（宝山区2013届期末）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，.
（1）当时，求的定义域；
（2）若恒成立，求的取值范围．
解：（1）由………………………………………………3分
解得的定义域为．………………………6分
（2）由得，即……………………9分
令，则，………………………………………………12分
当时，恒成立．………………………………………………14分
（长宁区2013届高三一模）22． (本小题满分18分) （理）已知函数 。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。
（文）已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。
22、（理）解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………4分
（2）因为
令，则，
∴()+t= …………6分
由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分
因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若，即则 …………8分
②若，即则…………10分
③若，即则 …………11分
综上有 …………12分
（3）易得， …………14分
由对恒成立，
即要使恒成立，…………15分
，令，对所有的成立，
只需 …………17分
求出m的取值范围是. …………18分
（文）解：（1）当时，，不合题意；……………1分
当时，在上不可能单调递增；……………2分
当时，图像对称轴为，
由条件得，得 ……………4分
（2）设， ……………5分
当时，， ……………7分
因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，
所以， ， ……………9分
解得。 ……………10分
（3）在上是增函数，设，则，
，，……………12分
因为，所以， ……………14分
而， ……………16分
所以 ……………18分
（崇明县2013届高三一模）22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）
设函数.
（1）当时，求函数在区间内的零点；
（2）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
22、解：（1），令，得，
所以。
（2）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。
，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。
（3）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.
据此分类讨论如下：
①当，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。
②当－1≤＜0，即0＜b≤2时，M＝f2(1)－f2()＝(＋1)2≤4恒成立．
③当0≤≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2()＝(－1)2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2()
＝
＝1＋c＋|b|－(＋c)
＝(1＋)2≤4恒成立．
（奉贤区2013届高三一模）23、（理）设函数
定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分
， 11分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分
11分
3、 12分
13分
∴， 14分
， 15分
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值. 18分
（奉贤区2013届高三一模）23、（文）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分
， 11分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分
11分
3、 12分
13分
∴， 14分
， 15分
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值. 18分
（虹口区2013届高三一模）23、（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
23、（18分）解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且， 时[来源:Zxxk.Com]
当时，在上递减，在上递增，且，时
综上所述：当时， ；当时，
………………………………11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在
有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分
（青浦区2013届高三一模）23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
① ………………………………………………………2分
又，
用代替得③ ……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
（2）当时，
；……10分
（3）当时，
…………………12分
显然时，函数在区间上不是单调函数 …………………13分
又时，是增函数，
此时……………………………………14分
若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有
， ………………………………………………………16分
解得 ． ………………………………………………………18分
（嘉定区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当，时，…（2分）
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
O
a
y
x
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）
综上，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是．………………（6分）
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）
（杨浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数的值域为集合，
（1）若全集，求；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；
（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
(1)由已知得， ，则 ………1分
当且仅当时，即等号成立，
………3分
所以， ………4分
(2)由题得 ………5分
函数在的最大值为 ………9分
………10分
(3)设，则直线的方程为，
即， ………11分
由 得 ………13分
又， ………14分
所以，，故 ………16分
