2018-2019学年云南省昆明市高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

2018-2019学年云南省昆明市高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 云南省昆明市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义，即可求出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集的运算。‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可得计算结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法，属于基础题.‎ ‎3．已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出.‎ ‎【详解】‎ ‎ 由得， ‎ 解得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示。‎ ‎4．已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的性质，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 令，即有 双曲线的渐近线方程为，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。‎ ‎5．展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项公式是 ‎ 令，所以系数为，故选。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查如何求二项式定理的展开式中某一项的系数。‎ ‎6．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.‎ ‎【详解】‎ 设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.‎ 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.‎ 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，‎ ‎，故，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.‎ ‎7．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 设，，A，C，D均是错误的，选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.‎ ‎8．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，‎ 因，故，从而有，A正确.‎ B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.‎ ‎9．设随机变量，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果 ‎【详解】‎ ‎， ‎ 即，所以，，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键。‎ ‎10．设，则下列正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据的单调性即可得出的大小关系。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 而 ，所以最小。‎ 又 ，，‎ 所以，即有，因此，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的单调性比较大小。‎ ‎11．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（ ）‎ A．直线与直线共面 B．‎ C．可以是直角三角形 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明是否共面，来判断直线与直线是否共面；‎ ‎（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；‎ 沿直线折起成，位置不定，当面面 ，此时；‎ 取中点，连接，则，若有，则面 ‎ 即有，在中，明显不可能，故不符合；‎ 在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；‎ ‎【点睛】‎ 本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力。‎ ‎12．已知函数的图象关于直线对称，且在 上为单调函数，下述四个结论：‎ ‎①满足条件的取值有个 ‎②为函数的一个对称中心 ‎③在上单调递增 ‎④在上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确。‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象关于直线对称，所以 ‎ ‎，又在上为单调函数，，即，‎ 所以或，即或 所以总有，故①②正确；‎ 由或图像知，在上单调递增，故③正确；‎ 当时，只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；‎ 综上，所有正确结论的编号是①②③。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在等差数列中，，，则公差__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可得，从而．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，所以，填．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎14．函数的图象在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，，又 ‎ 所以切线方程为，即。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。‎ ‎15．已知是以为直径的半圆弧上的动点，为圆心，为中点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用中点公式的向量式求出，再用数量积的定义求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义。‎ ‎16．已知椭圆，，，斜率为的直线与相交于两点，若直线平分线段，则的离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求出的值后可得离心率的值．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 故即，‎ 因为为的中点，故即，‎ 所以即，故，填．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.‎ ‎(1)求植株高度频率分布直方图中的值；‎ ‎(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.60.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.‎ ‎（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由茎叶图知，.‎ 由频率分布直方图知 ‎，‎ 所以. ‎ ‎（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.‎ ‎18．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，且，是上的点，平分，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角 ‎（2）根据角平分线定义先求出，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：因为，所以，‎ 即.‎ 因为，所以，解得.‎ 所以或（舍去）,‎ 因此,.‎ ‎（2）因为，，所以，因为，所以，‎ 又因为为的角平分线，所以，‎ 在中，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。‎ ‎19．已知等比数列的前项和，其中为常数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得 .‎ ‎（2）利用分组求和法可求的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 因为数列是等比数列，所以对也成立，‎ 所以，即.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；‎ ‎(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，取中点为，连结，‎ 则，‎ 所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，‎ 所以平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）令，因为是中点，所以平面，‎ 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 在菱形中，，‎ 所以，，在中，‎ ‎，则，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 所以，所以可取，‎ 又因平面的法向量，‎ 所以.‎ 由图可知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。‎ ‎21．已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .‎ ‎（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设准线与轴的交点为点，连结，‎ 因为是正三角形，且，‎ 在中，，‎ 所以.‎ ‎（2）设，直线，由知，‎ 联立方程：，消得.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又原点到直线的距离为，‎ 所以，同理，‎ 所以，当且仅当时取等号.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；‎ ‎（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：因为，‎ ‎①当时，总有，‎ 所以在上单调递减.，无增区间；‎ ‎②当时，令，解得.‎ 故时，，所以在上单调递增.，‎ 同理时，有，所以在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知当时，，‎ 若，则，此时，，‎ 因为，所以，‎ 当时，取，有,‎ 所以 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。‎