数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二文科实验班上学期第五次月考（2017-01）

数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二文科实验班上学期第五次月考（2017-01）

衡阳八中2016年下期高二年级第五次月考试卷 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.下列说法正确的是（　　）‎ A．“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，使得”‎ C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数 D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 ‎2.若复数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.下面使用类比推理正确的是（　　）‎ A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则 B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b C．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2‎ ‎4.焦点是（0，±2），且与双曲线﹣=1有相同渐近线的双曲线的方程是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．y2﹣=1 C．x2﹣y2=2 D．y2﹣x2=2‎ ‎5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，． ‎ P（K2≥k） ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是( )‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎6.已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），则f2015（x）等于（　　） ‎ A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx ‎7.已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞D．e≥‎ ‎8.函数的图象的大致形状是（　　）‎ A． B ‎ C． D ‎9.已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　） ‎ A．[1， +2] B．[1，e2﹣2]‎ C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）‎ ‎10.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )‎ A. (6，＋∞) B. (5，＋∞)　C.(4，＋∞) D. (3，＋∞)　‎ ‎11.已知是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．‎ 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，则，对于任意，；‎ ‎④对于复数，若，则.‎ 其中所有真命题的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.若复数（为虚数单位），则||= .‎ ‎14.某设备的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如下的统计资料：‎ 使用年限x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 总费用y ‎1.5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3.5‎ 由表中数据最小二乘法得线性回归方程=x+，其中=0.7，由此预测，当使用10年时，所支出的总费用约为　 　万元．‎ ‎15.f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为　 　．‎ ‎16.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且焦距为，为左右顶点，左准线与轴的交点为， ，若点在直线上运动，且离心率，则的最大值为 ．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．‎ 参考公式与临界值表：K2=．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．‎ ‎（1）若z1是纯虚数，求m的值；‎ ‎（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：.‎ 选做题 考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：（θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，试写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C2上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． ‎ ‎（1）解不等式f（x）＞0； ‎ ‎（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围． ‎ 衡阳八中2016年下期高二年级文科实验班第五次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B D D C D D C B A A B ‎13.‎ ‎14.5.5‎ ‎15.c＜a＜b ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）∵对任意 x∈[﹣1，1]，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立 ‎∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2‎ 即 p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．‎ ‎∵a=1，且存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1‎ 即命题q 为真时，m≤1‎ ‎∵p 且q 为假，p 或q 为真，‎ ‎∴p、q 一真一假 当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，‎ 当p假q 真时，则，即m＜1，‎ 综上所述，1＜m≤2或m＜1 …6分 ‎（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，‎ 当a＞0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立 命题q 为真时m≤a ‎∵p 是q 的充分不必要条件 ‎∴a≥2，‎ 当a＜0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立 命题q 为真时m≤﹣a ‎∵p 是q 的充分不必要条件 ‎∴a≤﹣2‎ 综上所述，a≥2或a≤﹣2 …12分 ‎18.‎ ‎（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5‎ 则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求． …5分 ‎（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，．‎ 所有的基本事件有：6×6=36个．…8分 事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个 所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…12分 ‎19.‎ ‎（1）因为复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i（m∈R）是纯虚数，‎ 所以m（m﹣1）=0，且m﹣1≠0，解得m=0； …（6分）‎ ‎（2）因为复数（m∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，‎ 所以，解之得﹣1＜m＜1； …（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由题意可得，解得．‎ ‎∴椭圆E的方程为．（4分）‎ ‎（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则．‎ 则直线PA1的方程为，令y=0，得xN=；‎ 直线PA2的方程为，令y=0，得．‎ 由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4，‎ ‎∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．（12分）‎ ‎21.(1)；(2)；(3)证明见解析.‎ ‎（2）当时，，‎ 与有两个交点 ‎ =在上有两个根 ‎ ………………………………………………………5分 令 时，，在上单调递增 时，，在上单调递减 处有极大值也是最大值， ‎ ‎，‎ ‎…………………………………………………………7分 ‎(3）由（1）知当时，在上单调递减 当且仅当x=1时，等号成立 即在上恒成立……………………………………………8分 令，（）………………………………………………………10分 ‎，‎ 时，‎ 时，‎ 时，‎ ‎…………‎ 时，‎ 累加可得（）……12分 考点：导数与函数单调性极值等方面的有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是在函数单调的前提下求参数的取值范围,求解先求导再转化为不等式恒成立求解得到.第二问的求解时先将问题进行等价转化,再构造,对构造函数运用导数的知识求解得到.第三问的证明问题是运用第一问的结论当函数在上单调递增减进行变形分析和推证,从而使得问题简捷巧妙获证.‎ ‎22.‎ ‎（1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程：2x﹣y﹣6=0．‎ 曲线C1：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：x2+y2=1．‎ 将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，可得：=1，‎ ‎∴曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（5分）‎ ‎（2）设点P，‎ 则P到直线l的距离d==≤=2，当且仅当=﹣1时取等号，取θ=．‎ ‎∴P到直线l的距离最大值为2．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0， ‎ 得x＞﹣5，所以x≥4成立； ‎ 当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0， ‎ 得x＞1，所以1＜x＜4成立； ‎ 当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立． ‎ 综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（5分） ‎ ‎（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9， ‎ 当﹣时等号成立． ‎ 即有F（x）的最小值为9， ‎ 所以m≤9． ‎ 即m的取值范围为（﹣∞，9]．（10分） ‎