专题23+数列的综合应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过
考点23数列的综合应用
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1已知等差数列满足=2，前3项和=.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足=，=，求的前n项和.
【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得
化简得解得
故通项公式为，即.
（2）由（1）得.
设的公比为q，则，从而.
故的前n项和.
典例2 已知等比数列的公比为．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明：对任意，成等差数列．
（2）对任意，
，
由得，故．
所以，对任意，成等差数列．
1．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求.
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看做是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3已知数列{an}满足a1+a2+a3+⋯+an-1+an=n-an(n∈N*)．
（1）求证：数列{an-1}是等比数列;
（2）若n(1-an)≤t(n∈N*)恒成立,求实数的取值范围．
【解析】（1）因为a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an-1+an=n-an(n∈N*),
所以a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an+an+1=n+1-an+1(n∈N*),
两式相减得an+1=1-an+1+an,即2an+1=1+an，
所以2an+1-2=an-1,所以an+1-1=12(an-1).
又因为a1=12,所以a1-1=-12，
故数列{an-1}是以-12为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）知an-1=-12n，所以n(1-an)=n2n，
令f(n)=n2n，则f(n+1)-f(n)=n+12n+1-n2n=-n+12n+1，
所以当n≥2时,f(n+1)-f(n)<0,故y=f(n)为减函数.
而f(1)=f(2)=12，因为n(1-an)≤t恒成立, 所以t≥12.
所以实数的取值范围为[12,+∞)．
典例4已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)且f(1)=12.
（1）当时，求f(n)的表达式；
（2）设an=n⋅f(n)，n∈N*，求证：a1+a2+a3+…+an<2；
（3）设，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.
【解析】（1）令y=1，得f(x+1)=f(x)⋅f(1)，
∴fn+1=fn⋅f1，即，∴fn=12nn∈N*.
（2）an=n⋅12n，设Tn=a1+a2+a3+⋯+an-1+an，则
Tn=1⋅12+2⋅122+3⋅123+⋯+n-112n-1+n⋅12n，①
12Tn=1⋅122+2⋅123+⋯+n-212n-1+n-112n+n⋅12n+1，②
∴得
，
∴，即a1+a2+a3+⋯+an-1+an<2.
（3）由（1）可得bn=(9-n)12=9-n2，
∴数列{bn}是一个首项是4，公差为-12的等差数列，
∴当n>9时，bn<0；当n<9时，bn>0；当n=9时，bn=0.
故当n=8或n=9时，Sn取得最大值，为.
2．设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列，求证：数列的前项和．
考向三等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例5某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n)max=128.
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.
3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而这星期一选B菜的,下星期一会有30%改选A菜.用an,bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数.
（1）试用an-1(n∈N*且n≥2)表示an,判断数列{an-300}是否为等比数列,并说明理由;
（2）若第1个星期一选A菜的有200名学生,那么第10个星期一选A菜的大约有多少名学生?
考向四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．
典例6已知数列{an}满足a1=0，，且对任意m，n∈N*都有．
（1）求a3，a5；
（2）设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*)．
①求数列{bn}的通项公式；
②设数列的前n项和为Sn，是否存在正整数p，q，且1
成立?若存在,试确定n的值,若不存在,请说明理由.
考向五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和.在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
典例7已知等比数列的前项和为，且满足.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
则.
（2）由可得，
则，，
两式相减得，
则.
典例8已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，由和，，成等比数列，得，解得，或.
当时，，与成等比数列矛盾，舍去，，
即数列的通项公式为
（2）=，
.
5．已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
1．已知a，5，b组成公差为d的等差数列，又a，4，b组成等比数列，则公差d=
A．-3B．3
C．-3或3 D．2或
2．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和
A． B．
C． D．
3．已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则
A．a1d>0,dS4>0B．a1d<0,dS4<0
C．a1d>0,dS4<0D．a1d<0,dS4>0
4．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是
A．B．
C．或D．
5．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前n项和，则的值为
A．2 B．-2
C．3 D．-3
6．在数列中，，当时，其前项和满足，设，数列的前项和为，则满足的最小正整数是
A．12 B．11
C．10 D．9
7．数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________．
8．用分期付款的方式购买一件电器,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元及欠款的利息,月利率为1%,则买这件电器实际花费 元.
9．已知正项等比数列满足，，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的的值.
11．已知各项均不为零的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t(Sn-an+1)（为常数，且t≠0，t≠1）．
（1）设bn=an2+Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求的值；
（2）在满足（1）的情形下，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
12．已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2·a3＝15,S4＝16.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）数列{bn}满足b1＝a1,bn＋1－bn＝.
①求数列{ bn}的通项公式;
②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
1．（2017新课标全国Ⅰ文科）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
2．（2017北京文科）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
3．（2017新课标全国Ⅱ文科）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
4．（2017山东文科）已知是各项均为正数的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知，求数列的前n项和．
变式拓展
1．【解析】（1）设的公差为，由题意知，∴.
∵在等比数列中，，∴的公比为，
∴，即.
（2）由（1）知，，∴.
∴①，
②，
②-①得，
故.
故数列的通项公式为，即．
（2）由（1）知，
得，
则．
3．【解析】（1）由题意,知对n∈N*有bn=500-an,
所以当n∈N*且n≥2时,an=an-1+310(500-an-1),
所以an=an-1+150,所以an-300=(an-1-300),
所以当a1=300时,数列{an-300}不是等比数列.
当a1≠300时,数列{an-300}是以a1-300为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）,知当a1=200时,an-300=()n-1(a1-300),
所以an=300-,所以a10=300-≈300,
所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生.
∴an=2n或an=()n-6.
（2）∵数列{an}为递增数列,∴an=2n,
∴bn===(1n-1n+2),
∴Tn=(1-+-+-+⋯+1n-1n+2)=(1+-1n+1-1n+2)=-2n+32n2+6n+4.
令Tn>,则-2n+32n2+6n+4>12,整理得n2-n-4>0,
解得n>1+172或n<1-172(舍去),
又2<1+172<3,∴存在最小正整数n使得Tn>成立,此时n=3.
∴数列的公比，
∴，∴.
（2）由得
.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由题意可得a+b=10，ab=42，联立解得，或，∴d=8-22=3，或d=2-82=-3，故选C.
2．【答案】A
【解析】由已知得，，又是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
3．【答案】B
【解析】设等差数列an的公差为dd≠0，首项为a1，则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d，因为a3,a4,a8成等比数列，所以a1+3d2=a1+2da1+7d，即5dd+35a1=0，即a1=-53d，
a1d=-53d2<0，dS4=4a1d+6d2=-23d2<0.故选B.
4．【答案】A
5．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d,首项为a1，
所以a3=a1+2d,a4=a1+3d.
因为a1、a3、a4成等比数列，所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得a1=−4d.
所以，故选A.
6．【答案】C
【解析】在数列{an}中,a1=1,当n⩾2时,其前n项和Sn满足，
，
∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为1，则=1+(n−1)=n,解得.
数列{bn}的前n项和为
.
由Tn⩾6,得,即(n+1)(n+2)⩾27，
令，可得f(x)在[1,+∞)上单调递增，
而f(9)=−18<0,f(10)=4>0，
若，则n⩾10.
则满足Tn⩾6的最小正整数n是10.
7．【答案】
8．【答案】1255
【解析】购买时付150元,欠 1000元,每月付50元,分20次付清.设每月付款数构成数列{an},则
a1=50+1000×1%=60,
a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1,
a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2,
…
∴an=60-0.5(n-1) =-0.5n+60.5(1≤n≤20),
∴{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,
∴S20+150=20×60+20×192×(-0.5)+150=1255,
∴买这件电器实际花1255元.
9．【解析】（1）设正项等比数列的公比为（），
由，得，则，
因为，所以．
又因为，，成等差数列，所以，解得，
所以数列的通项公式为 .
（2）依题意得，则
①，
②，
由②①得，
所以数列的前项和为．
（2）当时，，所以，
由，得，所以；
当时，，
故数列为等差数列，所以，
由，得，所以.
综上知，或.
11．【解析】（1）当n=1时，S1=t(S1-a1+1)，得a1=t．
当n≥2时，由Sn=t(Sn-an+1)，得(1-t)Sn=-tan+t，①
∴(1-t)Sn-1=-tan-1+t，②
①-②，得(1-t)an=-tan+tan-1，即an=tan-1，
∵数列{an}的各项均不为零，∴anan-1=t（n≥2），
∴{an}是等比数列，且公比是，∴an=tn．
∵t≠0，t≠1，∴，即.
（2）由t=12，知an=(12)n，∴cn=4(12)n+1，
∴，
由不等式恒成立，得恒成立，
设，则，
当n≤4时，dn+1>dn；当n>4时，dn+1<dn，而d4=116，d5=332，∴d4<d5，
∴3k≥332，∴k≥132．
12．【解析】（1）设数列{an}的公差为d,则d＞0.
由a2·a3＝15,S4＝16,得a1+da1+2d=154a1+6d=16，
解得a1=1d=2 或a1=7d=-2 (舍去).
所以an＝2n－1.
（2）①因为b1＝a1,bn＋1－bn＝1an·an+1,所以b1＝a1＝1,
bn+1－bn＝1an·an+1＝1(2n-1)·(2n+1)＝(12n-1－12n+1),
即b2－b1＝(1－),
b3－b2＝(－),
…
bn－bn－1＝(12n-3－12n-1)(n≥2)，
累加得:bn－b1＝(1－12n-1)＝n-12n-1,
所以bn＝b1＋n-12n-1＝1＋n-12n-1＝3n-22n-1.
b1＝1也符合上式.
故bn＝3n-22n-1,n∈.
②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列,则b2＋bn＝2bm.
又b2＝,bn＝3n-22n-1＝－14n-2,bm＝－14m-2,
所以＋(－14n-2)＝2(－14m-2),即12m-1＝＋14n-2,
化简得:2m＝7n-2n+1＝7－9n+1.
当n＋1＝3,即n＝2时,m＝2(舍去);
当n＋1＝9,即n＝8时,m＝3,符合题意.
所以存在正整数m＝3,n＝8,使得b2,bm,bn成等差数列.
直通高考
由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
2．【思路分析】（1）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n−1．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
3．【思路分析】（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和．
（1）由a3+b3=5得2d+q2=6 ②，
联立①和②解得d=3q=0（舍去）或d=1q=2，
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1．
（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0，解得q=-5，q=4．
当q=-5时，由①得d=8，则S3=21．
当q=4时，由①得d=-1，则S3=-6．
4．【思路分析】（1）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（2）用错位相减法求和．
【解析】（1）设的公比为，由题意知．
又，解得，所以．
（2）由题意知：，
又所以，
令,则，
因此
又，
两式相减得，所以．
