数学理卷·2018届安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）高三开年迎春考试（2018

数学理卷·2018届安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）高三开年迎春考试（2018

山东K12联盟2018届高三开年迎春考试 数学（理科试题卷）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则中元素的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎2.若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.在区间上随机取一个实数，使得的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.在边长为2的等边三角形中，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4 ‎ ‎7.已知，在的展开式中，记的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.在四面体中，，，则它的外接球的面积（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线：（，）与双曲线互为共轭双曲线，它们的离心率分别为、．以下说法错误的是（ ）‎ A．、的渐近线方程都是 B．的最小值是2‎ C． D． ‎ ‎10.记函数（，）的图象按向量平移后所得图象对应的函数为，对任意的都有，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.函数（）在上有两个不同的零点、（），以下正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.对于函数，以下描述正确的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知变量、满足则的最大值为 ．‎ ‎14.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银1斤8两12铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交8两，户别差为3两，则户数为 ．（1斤两，1两铢）‎ ‎15.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点，过、两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，若，，则抛物线的方程为 ．‎ ‎16.的面积，角、、的对边分别为、、，，，的内切圆半径等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列，，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．　‎ ‎18.在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将 折起至，使，如图2所示．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）（指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：‎ ‎（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；‎ ‎（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？‎ ‎20.已知、分别是离心率为的椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于、两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使 成立，求实数的取值范围．‎ 山东K12联盟2018届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，知，，所以，‎ 数列是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以，．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得 ‎．‎ 所以．　‎ ‎18.（1）证明：在图1中连接，则，，．　‎ ‎∵，，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：取中点，连接，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，∴平面．‎ 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，，，．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由可得；‎ 由可得；‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（1）系统抽样，分段间隔，‎ 这些抽出的样本的编号依次是4号、9号、14号、19号、24号、29号，‎ 对应的样本数据依次是、56、94、48、40、221．‎ ‎（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2,3，‎ ‎，，，，‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．　 （3）2016年11月指数为一级的概率，‎ ‎2017年11月指数为一级的概率，‎ ‎，说明这些措施是有效的．‎ ‎20.解：（1）延长交直线于点，‎ ‎∵为的外角平分线的垂线，∴，为的中点，‎ ‎∴，‎ 由椭圆的离心率，得，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意，设的方程为（，），‎ ‎∵直线与圆相切，∴，即，‎ 由得，‎ 设，（），则，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 同理，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即的周长为定值6．　‎ ‎21.解：（1），‎ 因为在点处垂直于直线，‎ 所以，，解得或．‎ ‎（2）函数的定义域为，．‎ ‎①当时，，无零点；‎ ‎②当时，，得．‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴．‎ 因为，‎ 且当时，，当→时，，，‎ ‎∴当时，即，，函数有两个不同的零点；‎ 当时，即时，函数有一个零点；‎ 当时，即时，函数没有零点；‎ ‎③当时，令，得．‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴．‎ 当→和当→，均有，‎ ‎∴当时，即，时，函数有两个不同的零点；‎ 当时，即时，函数有一个零点；‎ 当时，即时，函数没有零点；‎ 综上，当或时，函数有两个不同的零点；‎ 当或时，函数有一个零点；‎ 当时，函数没有零点．‎ ‎22.解：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，‎ 即，化为极坐标方程为，‎ 由曲线的极坐标方程（），得（），‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（2）曲线的圆心到直线的距离，‎ 故的最小值为，解得或．‎ ‎23.解：（1）不等式等价于或或 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故实数的取值范围是．‎