河北省秦皇岛市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

河北省秦皇岛市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

‎2019-2020学年河北省秦皇岛一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 一、单项选择题（本题有14小题，每题5分，共70分．每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）‎ ‎2．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y+5＝0‎ ‎3．若直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）经过第一、二、四象限，则系数A，B，C满足条件为（　　）‎ A．A，B，C同号 B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎5．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）‎ A．+y2＝1 B．+＝1 ‎ C．+＝1 D．+＝1‎ ‎6．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值等于（　　）‎ A．7 B．8 C．10 D．11‎ ‎7．动直线l：x+my+2m﹣2＝0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，则弦AB的最短为（　　）‎ A．2 B．2 C．6 D．4‎ ‎8．已知椭圆+＝1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．10 B．20 C．2 D．4‎ ‎9．设a是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出a∥α的是（　　）‎ A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α ‎ B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α ‎ C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β ‎ D．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β ‎10．变量x，y满足约束条件，若使z＝ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　　）‎ A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}‎ ‎11．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] ‎ C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎12．已知点F1、F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎13．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）‎ ‎14．N为圆x2+y2＝1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN＝30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．+ D．+‎ 二、填空题（本题有4小题，每题5分，共20分）‎ ‎15．已知椭圆：的焦距为4，则m为　 　．‎ ‎16．若x，y满足约束条件则的最大值　 　．‎ ‎17．由动点p（x，y）引圆x2+y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝90°，则点P的轨迹方程为　 　．‎ ‎18．已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），当点P在椭圆上运动时，△APF的周长的最大值为　 　‎ 三、解答题（本题有5大题，每题12分，共60分）‎ ‎19．已知直线l1经过点A（﹣1，5）和点B（﹣3，6），直线l2过点C（2，4）且与l1平行．‎ ‎（1）求直线l2的方程；‎ ‎（2）求点C关于直线l1的对称点D的坐标．（要求写出求解过程）‎ ‎20．设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程．‎ ‎21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；‎ ‎（Ⅱ）若BD＝2，求直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值．‎ ‎22．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0和直线x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．‎ ‎23．椭圆的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，求△ABP的面积．‎ ‎2019-2020学年河北省秦皇岛一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题有14小题，每题5分，共70分．每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y＝0化成标准方程，‎ 得（x﹣2）2+（y+3）2＝13‎ ‎∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r＝的圆 故选：D．‎ ‎2．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y+5＝0‎ ‎【解答】解：过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5＝0的直线的斜率为 ，由点斜式求得直线的方程为 y﹣3＝（x﹣2），‎ 化简可得 x﹣2y+4＝0，‎ 故选：A．‎ ‎3．若直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）经过第一、二、四象限，则系数A，B，C满足条件为（　　）‎ A．A，B，C同号 B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0‎ ‎【解答】解：若B＝0，方程化为：Ax+C＝0，不满足条件，舍去．‎ ‎∴B≠0，直线方程化为：y＝﹣x﹣，‎ 因此直线经过第一、二、四象限，‎ 则系数A，B，C满足条件为：﹣＜0，﹣＞0，‎ ‎∴AB＞0，AC＜0．‎ 故选：D．‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，‎ 底面半径为1，高为2，‎ 故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，‎ 故选：D．‎ ‎5．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）‎ A．+y2＝1 B．+＝1 ‎ C．+＝1 D．+＝1‎ ‎【解答】解：F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，可得c＝1，‎ 过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，‎ 可得，‎ ‎2（a2﹣c2）＝3a，即：2a2﹣2﹣3a＝0解得a＝2，则b＝，‎ 所求的椭圆方程为：+＝1．‎ 故选：C．‎ ‎6．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值等于（　　）‎ A．7 B．8 C．10 D．11‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，‎ 平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B（4，2）时，‎ 直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z＝2×4+2＝10，‎ 故选：C．‎ ‎7．动直线l：x+my+2m﹣2＝0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，则弦AB的最短为（　　）‎ A．2 B．2 C．6 D．4‎ ‎【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2＝0（m∈R），‎ ‎∴（x﹣2）+（y+2）m＝0，‎ ‎∴动直线l：x+my+2m﹣2＝0（m∈R）过定点M（2，﹣2），‎ ‎∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心C（1，﹣2），半径r＝＝3，‎ d＝|MC|＝＝1，‎ ‎∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于点A，B，‎ ‎∴弦AB的最短距离为：2＝2＝4．‎ 故选：D．‎ ‎8．已知椭圆+＝1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．10 B．20 C．2 D．4‎ ‎【解答】解：由题意可得椭圆+＝1的b＝5，c＝4，‎ a＝＝，‎ 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，‎ 即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|‎ ‎＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝4．‎ 故选：D．‎ ‎9．设a是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出a∥α的是（　　）‎ A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α ‎ B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α ‎ C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β ‎ D．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β ‎【解答】解：由线面平行的判定定理，必须指明直线a在平面α外，故排除A，a⊥b，b⊥α，则a可能在平面α内，故排除B，由面面平行的定义可知若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确；垂直于同一平面的一条直线与一个平面可能在一个面内，故排除D，‎ 故选：C．‎ ‎10．变量x，y满足约束条件，若使z＝ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　　）‎ A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}‎ ‎【解答】解：不等式对应的平面区域如图：‎ 由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，‎ 若a＝0时，直线y＝﹣ax+z＝z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．‎ 若﹣a＞0，则直线y＝﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y＝﹣ax+z与y＝x﹣2平行，‎ 此时﹣a＝1，解得a＝﹣1．‎ 若﹣a＜0，则直线y＝﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y＝﹣ax+z与y＝﹣3x+14平行，‎ 此时﹣a＝﹣3，解得a＝3．‎ 综上满足条件的a＝3或a＝﹣1，‎ 故实数a的取值集合是{3，﹣1}，‎ 故选：B．‎ ‎11．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] ‎ C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点 ‎∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为 ‎∴|a+1|≤2‎ ‎∴﹣3≤a≤1‎ 故选：C．‎ ‎12．已知点F1、F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵O为F1F2的中点，‎ ‎∴＝2，可得＝2||‎ 当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．‎ ‎∵椭圆x2+2y2＝2化成标准形式，得＝1‎ ‎∴a2＝2且b2＝1，可得a＝，b＝1‎ 因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b＝1‎ ‎∴＝2||的最小值为2‎ 故选：C．‎ ‎13．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）‎ ‎【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．‎ ‎∴e＝＝≤＝．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 故选：A．‎ ‎14．N为圆x2+y2＝1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN＝30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．+ D．+‎ ‎【解答】解：如图，‎ 过M作⊙O切线交⊙O于T，‎ 根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN＝30°．‎ 反过来，如果∠OMT≥30°，‎ 则⊙O上存在一点N使得∠OMN＝30°．‎ ‎∴若圆C上存在点N，使∠OMN＝30°，则∠OMT≥30°．‎ ‎∵|OT|＝1，∴|OM|≤2．‎ 即（|y0|≥1）．‎ 把y0＝1代入，求得A（），B（），‎ ‎∴，‎ ‎∴动点M运动的区域面积为2×（）＝．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本题有4小题，每题5分，共20分）‎ ‎15．已知椭圆：的焦距为4，则m为　4或8　．‎ ‎【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2＝4，所以m＝4；‎ 焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m＝4，所以m＝8，‎ 综上，m＝4或8．‎ 故答案为：m＝4或8．‎ ‎16．若x，y满足约束条件则的最大值　﹣1　．‎ ‎【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；‎ 则表示平面区域内的点P（x，y）与点M（5，﹣3）连线的斜率k的值；‎ 由图形知，当P点与A点重合时，k取得最大值；‎ 由，求得A（1，1），所以k的最大值为＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎17．由动点p（x，y）引圆x2+y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝90°，则点P的轨迹方程为　x2+y2＝8　．‎ ‎【解答】解：∵∠APO（O为圆心）＝∠APB＝45°，‎ ‎∴PO＝OA＝2．‎ ‎∴P的轨迹是一个以原点为圆心，半径为2的圆，∴点P的轨迹方程为x2+y2＝8．‎ 故答案为：x2+y2＝8．‎ ‎18．已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），当点P在椭圆上运动时，△APF的周长的最大值为　14　‎ ‎【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′，‎ ‎，|AF|＝＝4＝|AF′|，‎ 则|PF|+|PF′|＝2a＝6，‎ ‎∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，‎ ‎∴△APF的周长＝|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4＝14，‎ 当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．‎ ‎∴△APF的周长最大值等于14．‎ 故答案为：14．‎ 三、解答题（本题有5大题，每题12分，共60分）‎ ‎19．已知直线l1经过点A（﹣1，5）和点B（﹣3，6），直线l2过点C（2，4）且与l1平行．‎ ‎（1）求直线l2的方程；‎ ‎（2）求点C关于直线l1的对称点D的坐标．（要求写出求解过程）‎ ‎【解答】解：（1）＝＝﹣．‎ ‎∵直线l2过点C（2，4）且与l1平行，‎ ‎∴y﹣4＝﹣（x﹣2），化为：x+2y﹣10＝0．‎ ‎（2）直线l1的方程为：y﹣5＝﹣（x+1），化为：x+2y﹣9＝0．‎ 设点C关于直线l1的对称点D的坐标（a，b），‎ 则，解得a＝，b＝．‎ 可得D．‎ ‎20．设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．求点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足．‎ 可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），‎ 可得x﹣x0＝0，y＝y0，‎ 即有x0＝x，y0＝，‎ 代入椭圆方程+y2＝1，可得＝1，‎ 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；‎ 故答案为：x2+y2＝2．‎ ‎21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；‎ ‎（Ⅱ）若BD＝2，求直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥AB，A1O⊥BC．‎ ‎ 又∵AB∩BC＝B，AO，AB，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴A1O⊥平面ABCD；‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD，‎ ‎∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是2，∴CQ⊥BD，‎ ‎ 又∵A1O∩OC＝O，AO，∴BD⊥平面A1CO，‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知OA，OB，OC两两垂直，则以O为原点，建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎∵BD＝AB＝AA1＝2，∴OB═OD＝1，AO＝，OA1＝1，‎ 则A（，0，0），D（0，﹣1，0），C（﹣，O，0），A1（0，0，1），‎ ‎，，．‎ 设平面AA1D1D的法向量为，‎ 由，可取，‎ 则cos＝．‎ ‎∴直线A1C与平面AA1D1D所成角正弦值为．‎ ‎22．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0和直线x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．‎ ‎【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∵‎ ‎∴5y2﹣20y+12+m＝0，‎ ‎∴y1+y2＝4，y1y2＝，‎ x1x2＝（3﹣2y1）（3﹣2y2）＝9﹣6（y1+y2）+4y1y2‎ ‎＝9﹣24+＝；‎ ‎∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2＝0，‎ ‎∴+＝0，‎ ‎∴5m＝15，∴m＝3；‎ ‎∴圆的方程为：x2+y2+x﹣6y+3＝0，‎ ‎∴D＝1，E＝﹣6，F＝3，‎ ‎∴圆心（﹣，3），半径为＝．‎ ‎23．椭圆的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，求△ABP的面积．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆左焦点为F（﹣c，0），‎ 由题意可得，解得，‎ ‎∴椭圆C的方程为：＝1；‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，‎ 当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去，‎ 故可设直线AB的方程为y＝kx+m（m≠0），‎ 由消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，‎ 则△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，‎ 所以线段AB的中点M（﹣，），‎ 因为点M在直线OP上，所以＝，解得m＝0（舍去）或k＝﹣，‎ 此时x1+x2＝m，x1x2＝，‎ 所以AB＝•|x1﹣x2|＝×＝，∴m＝±2，‎ 所以直线，‎ 设点P到直线AB的距离为d，则d＝＝，或d＝＝，‎ 所以△ABP的面积为：×＝．‎