数学理（B）卷·2018届北京人大附中高三上学期期末考试仿真卷（2018

数学理（B）卷·2018届北京人大附中高三上学期期末考试仿真卷（2018

‎2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷 理科数学（B）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2017·榆树一中]设全集，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ ‎ ‎ A．{1，3，5} B．{1，5，6} C．{6，9} D．{1，5}‎ ‎2．[2017·台州中学]已知复，则复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2017·遵义四中]已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．2或 ‎4．[2017·耀华实验中学]已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C．4 D．‎ ‎5．[2017·莆田二十四中]已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．[2017·呼和浩特质检]“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数，具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2017·漯河高级中学]已知，满足约束条件，则 的最大值是（ ）‎ A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．[2017·华师附中]如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎9．[2017·德化一中]已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．6‎ ‎10．[2017·咸宁联考]在锐角中，角，，对应的边分别是，，，向量，，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2017·西城8中]已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）‎ A．曲线上不存在“完美点”‎ B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于 D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 ‎12．[2017·成都七中]在直角坐标平面上的一列点，，，，简记为，若由构成的数列满足，，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．有下列说法 ‎①为点列；‎ ‎②若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，则可以为锐角三角形；‎ ‎③若为点列，若正整数，，，满足，且满足，则；‎ ‎④若为点列，若正整数，，，满足，且满足，则．‎ 其中，正确说法的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2017·合肥八中]函数在上的单调情况是_______________．‎ ‎14．[2017·南开中学]如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__________．‎ ‎ ‎ ‎15．[2017·济宁模拟]已知圆：和圆：，若点（，）在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．‎ ‎16．[2017·嘉兴一中]如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交，分别于，，当三棱锥体积最大时，_________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2017·济南外国语学校]各项均为正数的等比数列，前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎18．[2017·南宁二中]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定， ．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①‎ 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．‎ ‎19．[2017·广州一调]如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2017·河南联考]如图，已知为椭圆：的右焦点，，，为椭圆的下、上、右三个顶点，与的面积之比为．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试探究在椭圆上是否存在不同于点，的一点满足下列条件：点在轴上的投影为，的中点为，直线交直线于点，的中点为，且的面积为．若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2017·广州联考]函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2017·西安中学]已知直线的参数方程为（，‎ 为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线的形状；‎ ‎（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2017·临川一中]已知，，函数的最小值为4．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年上学期高三年级期末考试仿真测试卷 理科数学（B）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】∵，，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，故选D．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】，所以复数的共轭复数，故选C．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，，，，，故选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】几何体为四棱锥，高为2，底面为正方形面积为，，选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】因为函数，又，，所以，，即，，故可取，令，求得，，则函数的图象的一条对称轴为，故选A．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，故选D．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表达的平面区域如图所示，则目标函数，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值：．‎ 本题选择C选项．‎ ‎ ‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】∵扇形的半径为1，∴，∵，∴，∵，‎ ‎∴，‎ ‎，故选C．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】由题意，偶函数的周期为2，作出函数的图象与函数的图象，如图所示，观察图象可知，两个函数的交点个数为6个，所以函数的零点个数是6．‎ ‎ ‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】，，‎ ‎，，，‎ 因为是锐角三角形，所以，，，，，由正弦定理，可得：，，‎ ‎，．本题选择B选项．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】‎ 如图1，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图2中虚线圆）交轴于，‎ ‎（可重合），交抛物线于点，，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：‎ 设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”，其横坐标大于1．故选．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】①由题意可知，，，显然有，是点列，①正确；②在中，，，，点在点的右上方，，为点列，，，‎ 则，为钝角，为钝角三角形，不可以为锐角三角形，②错；③，，，，③正确；‎ ‎④同理③，由于为点列，于是 ‎，可推导，，即，④正确，正确说法的个数为3，故选C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】单调递增 ‎【解析】在上有，所以在单调递增，故答案为单调递增．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】当，时，，则；当，时，，则；当，时，，则；当，时，，此时运算程序结束，输出，应填答案．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，圆：和圆：两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（，）在两圆的公共弦上，即，则（当且仅当，即，等号成立），即的最小值为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】平面，则，又，，平面，，平面，，设，在 中，，在中，，‎ ‎，‎ ‎，时，三棱锥体积最大为，此时，，，，．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，由得，‎ 解得或，‎ ‎∵数列为正项数列，∴，‎ 代入，得，∴．‎ ‎（2），‎ 此时，‎ ‎∴．‎ ‎18．【答案】（1）答案见解析；（2）①；②50万元．‎ ‎【解析】（1）由题意可知的可能取值为，，，，，．‎ 由统计数据可知：，，，， ，．‎ 所以的分布列为：‎ 所以．‎ ‎（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有一辆事故车的概率为．‎ ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为－5000，10000．‎ 所以的分布列为：‎ ‎－5000‎ ‎10000‎ 所以．‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．‎ ‎19．【答案】（1）见解析； （2）．‎ ‎【解析】（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．‎ ‎ ‎ 因为，分别为，的中点，‎ 所以，且，‎ 因为，且，‎ 所以，且．‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即．‎ 因为平面，平面，所以．‎ 因为是菱形，所以．‎ 因为，所以平面．‎ 因为，所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（2）解：因为直线与平面所成角为，‎ 所以，所以．‎ 所以，故为等边三角形．‎ 设的中点为，连接，则．‎ 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ ‎ ‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ ‎，则，所以．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，则，所以．‎ 设二面角的大小为，由于为钝角，‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）．（2）存在满足条件的点，其坐标为．‎ ‎【解析】（1）由已知得．‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）假设存在满足条件的点，设其坐标为（），‎ 则，且．‎ 又，‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎∵，∴，‎ 令，得．‎ 又，则，‎ ‎∴．‎ 直线的方程为，即，‎ ‎∴点到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ 解得，又，∴，‎ ‎∴存在满足条件的点，其坐标为．‎ ‎21．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】函数的定义域为，．‎ ‎（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，‎ 当时，‎ ‎①，即时，，即在上恒成立，‎ ‎②当时，由，得，，‎ 因为，所以，‎ 当时，，即，‎ 当或时，，即，‎ 综上，当时，在上递减，‎ 在和上递增，当时，在上递增．‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，‎ 则必有，且，‎ 且在上递减，在和上递增，‎ 则，‎ 因为，是方程的两根，‎ 所以，，即，，‎ 要证，‎ 又 ‎，‎ 即证对恒成立，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，，，故，‎ 所以在上递增，‎ 故，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）详见解析； （2）8．‎ ‎【解析】（1）由可得，即，‎ ‎∴曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线．‎ ‎（2）将代入，得，∴，‎ ‎∵，∴，∴直线的参数方程为（为参数）．‎ 将直线的参数方程代入得，‎ 由直线参数方程的几何意义可知，．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）最小值为．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 又，，所以，‎ 所以的最小值为，所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 故当，时，的最小值为．‎ ‎ ‎