贵州省北师大贵阳附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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贵州省北师大贵阳附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 北师大贵阳附中2019—2020学年第一学期期中考试 高一数学 第I卷 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,则集合真子集的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得,,结合可求出集合,进而可求出集合真子集的个数.‎ ‎【详解】由题意,,解得,又因为,所以或,‎ 故,则集合的真子集的个数为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】集合有个元素,其子集有个,真子集有个.‎ ‎2.下列四个函数中,在区间上单调递增的函数是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分别画出各个函数的图象,由单调函数图象特征可知,选项B正确. 故选B. A.  B. C.  D.‎ 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,增函数的图象特征,属于基础题 ‎3.已知,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令,则,所以,故选B.‎ ‎4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义域求出的定义域,再根据的定义域求出的定义域.‎ ‎【详解】解:函数的定义域为,即,‎ ‎,即的定义域为,‎ ‎,解得,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域的求法,是基础题.‎ ‎5.定义在上的奇函数满足,且当时,,则( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等式可得函数的周期,得到,再由奇函数的性质得,根据解析式求出,从而得到 的值.‎ ‎【详解】因为,所以的周期,‎ 所以,故选D.‎ ‎【点睛】由等式得函数的周期,其理由是:为函数自变量的一个取值,为函数自变量的另一个取值,这两个自变量的差始终为4,函数值始终相等,所以函数的周期为4.‎ ‎6.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.‎ ‎【详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.‎ ‎7.函数的大致图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵函数 ,可得 ,  是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当时, ,令 得:,得出函数在上是增函数,排除B,故选A.‎ 点睛:在解决函数图象问题时,主要根据函数单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据,得出是奇函数,其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性,从而得出正确选项.‎ ‎8.已知幂函数,若,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性,然后利用单调性可得到关于的不等式,求解即可.‎ ‎【详解】幂函数的定义域为,且是定义域上的减函数,‎ 因为,所以,解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎9.三个数的大小顺序是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数和对数函数的图象与性质得,即可求解.‎ ‎【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知:,‎ 所以,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数在上为递减函数,列式解不等式组可得.‎ ‎【详解】因为是上的减函数,‎ 所以,即,解得,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.‎ 第II卷 二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分)‎ ‎11.集合{x|x1}用区间表示为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:集合{x|x<1}表示小于等于1的实数,用区间表示为 考点:集合的表示法 ‎12.设:是集合到集合的映射,若,则_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合映射的概念,先求出集合中可能有的元素,然后与集合取交集即可.‎ ‎【详解】由题意得,或,解得或.‎ 若,则,‎ 若,则.‎ 即或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查了映射概念的应用,考查了集合的交集的运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.‎ ‎13.函数f(x)=loga(x-2)必过定点________.‎ ‎【答案】(3,0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数图像的变换分析得解.‎ ‎【详解】由题意得,函数y=logax恒过点(1,0),‎ 函数y=logax向右平移2个单位,可得y=loga(x-2)的图象,‎ 所以函数y=loga(x-2)图象必经过定点(3,0).‎ 故答案为(3,0)‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数图像的定点问题和图像的变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎14.已知函数,则的解析式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求解析式即可 ‎【详解】令,则 ‎ 故 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法,换元法是常见方法,注意新元的范围是易错点 ‎15.已知函数若方程恰有三个不同的实数解..,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过作出函数图像,将三个实数解问题转化为三个交点问题,可得m的取值范围,于是再解出c的取值范围可得最后结果.‎ ‎【详解】作出函数图像,由图可知,恰有三个不同的实数解,于是,而,,解得,故,所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图像的运用,分段函数的交点问题,意在考查学生的转化能力,图像识别能力,对学生的数形结合思想要求较高.‎ 三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.计算下列各式:‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出,再结合,代入原式可求出答案;‎ ‎(2)结合对数的运算性质,化简即可.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ 又,‎ 则.‎ ‎(2).‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了有理数的指数幂的化简求值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎17.已知全集,集合,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;‎ ‎(2)先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由题意,,解得,‎ 即集合,则或,‎ 又,所以;‎ ‎(2),,‎ 若,则,解得;‎ 若,则,解得.‎ 故的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.近年来,雾霾日趋严重,雾霾的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题,某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律,每生产该型号空气净化器(百台),其总成本为(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入(万元)满足,假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:‎ ‎(1)求利润函数的解析式(利润=销售收入-总成本);‎ ‎(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)12 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先求得,再由,由分段函数式可得所求;(2)分别求出各段的最大值,注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法,然后比较两个最值即可得到结果.‎ 试题解析:(1)由题意得 ‎ ‎∴ . ‎ ‎(2)当时, 函数递减,∴万元 ‎ 当时,函数 当时,有最大值60万元 ‎ 所以当工厂生产12百台时,可使利润最大为60万元 . ‎ ‎ 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数,构造分段函数时,做到分段合理、不重不漏,分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)探究的单调性,并证明你的结论;‎ ‎(2)求满足的的范围.‎ ‎【答案】(1)函数是上的增函数,证明见详解;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)函数是上的增函数,用定义法证明单调性即可;‎ ‎(2)由函数的单调性,并结合,可得到关于的不等式,求解即可.‎ ‎【详解】(1)函数是上的增函数.‎ 证明:函数的定义域为,任取,且,则,‎ 因为,所以,‎ 又,,‎ 故,即,‎ 所以函数是上的增函数.‎ ‎(2)函数是上的增函数,又,‎ 所以,解得.‎ 故满足不等式的的范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性的证明,考查了函数单调性的应用,考查了学生的推理能力,‎ 属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若函数的图象与直线没有交点,求的取值范围;‎ ‎(2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)函数没有交点,即方程没有解,可得到方程无解,构造函数,求其值域,进而可求出的取值范围;‎ ‎(2)两函数只有一个公共点,即方程只有一个解,结合对数的运算性质及二次函数的性质,分类讨论可求出的取值范围.‎ 详解】(1)由题意,方程无解,即方程无解,‎ 令,则函数与的图象无交点.‎ ‎,‎ 令,因为,所以,‎ 因为函数是上的增函数,所以的值域是,即函数的值域为.‎ 故只需,可使函数与的图象无交点.‎ 即的取值范围是.‎ ‎(2)由题意,方程只有一个解,‎ ‎,‎ 即方程为,‎ 则方程只有一个解,‎ 令,则,整理得,该方程有且仅有一个正解.‎ ‎①当时,则,解得,不符合题意,舍去;‎ ‎②当时,则为开口向上的二次函数,当时,,‎ 显然,二次函数存在唯一正零点,即方程有且仅有一个正解,符合题意;‎ ‎③当时,则为开口向下的二次函数.‎ 若一元二次方程有两个相同正解,则,解得或.‎ 时,解得,不合题意,舍去;时,解得,符合题意;‎ 若一元二次方程有两个不同的解,且只有一个正解,则,解得或,且,即,不符合,舍去.‎ 综上,的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了两函数图象交点与方程解的关系,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.‎ ‎ ‎
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