2020届二轮复习不等式选讲课时作业（全国通用）
第2讲 不等式选讲
1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；
(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.
解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，
等价于或或，
解得x≤－1或x≥1，
所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，
因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当
，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f()≥4.
2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．
解：(1)由题意知f(x)＝，由f(x)≥3可知：
①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；
②当－
2.
易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于C(，)，D(－，)两点，
则|CD|＝·|＋|＝a，
平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，
所以梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a>2)，
即(a＋2)(a－2)＝12，所以a＝4，
故所求实数a的值为4.
3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|.
(1)求证：f(x)≥2；
(2)若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：因为f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|≥|(x＋m2)－(x－2m－3)|，所以f(x)≥|m2＋2m＋3|＝(m＋1)2＋2≥2.
(2)由已知，得f(2)＝m2＋2＋|2m＋1|，
①当m≥－时，f(2)≤16等价于m2＋2m＋3≤16，即(m＋1)2≤14，
解得－－1≤m≤－1，所以－≤m≤－1；
②当m<－时，f(2)≤16等价于m2－2m＋1≤16，
解得－3≤m≤5，所以－3≤m<－.
综上，实数m的取值范围是[－3，－1]．
4．(2019·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．
(1)求实数a的值；
(2)求＋的最大值．
解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}，当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．
当1－a2＝0，即a＝±1时，
x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．
综上，a＝1.
(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值32.又＋≥0，所以＋的最大值为4.
5．(2019·石家庄市模拟(一))设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≤1的解集；
(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．
解：(1)不等式可化为
或或，解得x≥－，
所以f(x)≤1的解集为{x|x≥－}．
(2)法一：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
所以m＝4，p＋2q＝4，所以(p＋2)＋2q＝6，
＋＝(＋)(p＋2＋2q)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，
当且仅当p＋2＝2q＝3，即时取“＝”，
所以＋的最小值为.
法二：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
所以m＝4，p＋2q＝4，所以p＝4－2q，q∈(0，2)，
＋＝＋＝＝＝，
因为q∈(0，2)，所以当q＝时，＋取得最小值.
6．(2019·成都第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|＋1|.
(1)求不等式f(x)－3<0的解集；
(2)若关于x的方程f(x)－m2－2m－＝0无实数解，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意，知f(x)＝|2x－1|＋|＋1|＝
由f(x)－3<0，可得或
或，解得－4；
(2)对于任意正数m，n，求使得不等式f(x)≤＋＋2nm恒成立的x的取值集合M.
解：(1)当x≤0时，不等式化为－2x＋1－x>4，所以x<－1；
当04，解得x>3，无解；
当x≥1时，不等式化为2x＋x－1>4，所以x>，
综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
(2)因为＋＋2mn≥＋2mn≥4，当且仅当m＝n＝1时“＝”成立，
所以2|x|＋|x－1|≤4，由(1)知x的取值集合M为[－1，]．
8．(2019·沈阳市质量监测(一))设a>b>0，且ab＝2，记的最小值为M.
(1)求M的值，并写出此时a，b的值；
(2)解关于x的不等式：|3x＋3|＋|x－2|>M.
解：(1)因为a>b>0，所以a－b>0，>0，
根据基本不等式有＝＝a－b＋≥4，
当且仅当，即时取等号，所以M的值为4，此时a＝＋1，b＝－1.
(2)当x≤－1时，原不等式等价于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－；
当－14，解得－4，解得x≥2.
综上所述，原不等式的解集为(－∞，－)∪(－，＋∞)．
