专题6-5 数列的综合应用（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题6-5 数列的综合应用（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【练】第六章 数列 第04节 数列的综合应用 A基础巩固训练 ‎1．【2017届山西省大同市第一中学高三11月月考】在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎2．【2017届湖南常德一中高三上月考三】已知数列满足：，若，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数列满足：，所以数列为等比数列，设等比数列的公比为，则，又，即，解得，则 ‎，故选C．‎ ‎3．【2017届江西抚州市七校高三上联考】若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎4．公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若＝1，则＝（ ）‎ A．－5 B．0 C．5 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】设公比为，因为成等差数列且＝1，所以，即，解得或（舍去），所以.‎ ‎5．已知an是递减等比数列，a‎2‎‎=2,a‎1‎+a‎3‎=5‎，则a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+...+‎anan+1‎n∈‎N‎*‎的取值范围是 ( )‎ A. ‎12,16‎ B. ‎8,‎‎32‎‎3‎ C. ‎8,16‎ D. ‎‎16‎‎3‎‎,‎‎32‎‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】a‎2‎‎2‎‎=a‎1‎⋅a‎3‎=4,a‎1‎+a‎3‎=5‎，‎∴‎a‎1‎和a‎3‎是方程x‎2‎‎-5x+4=0‎的两根，解得x=1‎或‎4‎，‎∵‎an是递减等比数列，‎∴a‎1‎>‎a‎3‎，‎∴a‎1‎=4,a‎3‎=1,∴q‎2‎=a‎3‎a‎1‎=‎‎1‎‎4‎，‎∵‎an是递减等比数列，‎∴q>0,∴q=‎‎1‎‎2‎，‎∴Sn=a‎1‎a‎2‎+a‎2‎a‎3‎+...+‎anan+1‎ ‎=a‎1‎‎2‎q+a‎1‎‎2‎q‎3‎+a‎1‎‎2‎q‎5‎+...+a‎1‎‎2‎q‎2n-1‎=‎8‎‎1-‎‎1‎‎4‎n‎1-‎‎1‎‎4‎=‎32‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎4‎n<‎‎32‎‎3‎，‎∵‎a‎1‎‎2‎q‎2n-1‎是正项等比数列，‎∴‎Sn的最小项为S‎1‎‎=8‎，‎∴a‎1‎a‎2‎+a‎2‎a‎3‎+...+‎anan+1‎n∈‎N‎*‎的取值范围是‎8,‎‎32‎‎3‎，故选B.‎ B能力提升训练 ‎1．【2017届重庆市第八中学高三文上第二次考试】若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）‎ A．4 B．16 C．32 D．64‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意为等比数列，公比为，所以.‎ ‎2．在圆x2+y2﹣5y=0内，过点作n条弦（n∈N+），它们的长构成等差数列{an}，若a1为过该点最短的弦，an为过该点最长的弦，且公差，则n的值为（ ）‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【答案】B ‎3．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心， 为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以A为圆心， 为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线的总长度为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4．【2017届山西山西大学附中高三理上期中】已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）（Ⅰ）由和项求数列通项，主要利用得，化简得，即得，也可利用叠乘法求： （Ⅱ） 由于，所以利用放缩结合裂项相消法求证不等式：‎ 试题解析：解（1）; , （1） （2）‎ ‎（1）-（2）,得,, ，‎ ‎（2）,‎ ‎5．已知数列中各项都大于1，前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和；‎ ‎（3）求使得对所有都成立的最小正整数.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ 试题解析：（1）当 时，，‎ 解之得，（舍去）‎ 由 ①‎ 得 ②‎ ‎②-①得 ‎ 即 由于，故 可见数列为等差数列，公差是3，首项是2，‎ 所以. ‎ ‎（2），‎ 所以 即数列的前项和.‎ ‎（3） 使得对所有都成立的必须满足，即，故满足要求的最小正整数为6. ‎ ‎ C 思维拓展训练 ‎1. 3．已知一次函数的图像经过点和，令，记数列的前项和为，当时，的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2.设数列an的前n项和为Sn，点‎(n,Snn)‎（n∈N*‎）均在直线y=x+‎‎1‎‎2‎上．若bn‎=‎‎3‎an‎+‎‎1‎‎2‎，则数列bn的前n项和Tn‎=‎__________．‎ ‎【答案】‎‎9‎n+1‎‎-9‎‎8‎ ‎【解析】依题意得Snn‎=n+‎‎1‎‎2‎，即Sn‎=n‎2‎+‎1‎‎2‎n 当n≥2‎ 时，‎an‎=Sn-Sn-1‎=（n‎2‎+‎1‎‎2‎n）-[（n-1‎）‎‎2‎+‎1‎‎2‎（n-1）]=2n-‎‎1‎‎2‎ 当n=1‎ 时，a‎1‎‎=S‎1‎=‎‎3‎‎2‎符合an‎=2n-‎‎1‎‎2‎，所以an‎=2n-‎1‎‎2‎（n∈N‎*‎）‎ 则bn‎=‎3‎an‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2n，由bn+1‎bn‎=‎3‎‎2(n+1)‎‎3‎‎2n=9‎，可知‎{bn}‎为等比数列，‎b‎1‎‎=9‎ 故Tn‎=‎9(1-‎9‎n)‎‎1-9‎=‎‎9‎n+1‎‎-9‎‎8‎.‎ ‎3.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：‎ ‎， ‎ ‎， ， ‎ ‎……‎ 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则（1）_________；（2）前20行中这个数共出现了________次．‎ ‎【答案】 4‎ ‎4.【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底】已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=2an-2(n∈N‎*‎)‎ ‎ ‎（‎1‎）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（‎2‎）若数列‎{bn}‎满足‎1‎an‎=b‎1‎‎2+1‎-b‎2‎‎2‎‎2‎‎+1‎+b‎3‎‎2‎‎3‎‎+1‎-⋯+‎‎(-1)‎n+1‎bn‎2‎n‎+1‎，求数列‎{bn}‎的通项公式；‎ ‎（‎3‎）在（‎2‎）的条件下，设cn‎=‎2‎n+λbn，问是否存在实数λ使得数列‎{cn}(n∈N‎*‎)‎是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】⑴an‎=‎‎2‎n；⑵‎-‎128‎‎35‎<λ<‎32‎‎19‎,‎.‎ 当n=1‎时,a‎1‎‎=b‎1‎‎2+1‎,b‎1‎=‎3‎‎2‎.‎所以bn‎={‎‎3‎‎2‎‎,(n=1)‎‎(-1)‎n‎(‎1‎‎2‎n+1).(n≥2,n∈N‎*‎)‎ ‎（3） 因为cn‎=‎2‎n+λbn,‎ 所以当n≥3‎时,‎cn‎=‎2‎n+‎(-1)‎n(‎1‎‎2‎n+1)λ,cn-1‎=‎2‎n-1‎+‎(-1)‎n-1‎(‎1‎‎2‎n-1‎+1)λ.‎ 依据题意,有cn‎-cn-1‎=‎2‎n-1‎+‎(-1)‎nλ(2+‎3‎‎2‎n)>0,‎即‎(-1)‎nλ>-‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎.‎ 分类讨论，n为奇数或偶数，分离参数即可求出λ的取值范围是‎-‎128‎‎35‎<λ<‎32‎‎19‎,‎ 试题解析：⑴ 由Sn‎=2an-2,‎得Sn+1‎‎=2an+1‎-2．‎两式相减,得an+1‎‎=2an+1‎-2a,‎ 所以an+1‎‎=2an,‎由又S‎1‎‎=2a‎1‎-2,‎得a‎1‎‎=2a‎1‎-2,a‎1‎=2,‎ 所以数列‎{an}‎为等比数列，且首项为‎2‎，公比q=2‎，所以an‎=‎‎2‎n．‎ ‎⑵ 由 ⑴ 知‎1‎an‎=‎1‎‎2‎n(n∈N‎*‎)．‎ ‎ 由‎1‎‎2‎n‎=b‎1‎‎2+1‎-b‎2‎‎2‎‎2‎‎+1‎+b‎3‎‎2‎‎3‎‎+1‎-⋯+‎(-1)‎n+1‎bn‎2‎n‎+1‎(n∈N‎*‎),‎ ‎ 得‎1‎‎2‎n-1‎‎=b‎1‎‎2+1‎-b‎2‎‎2‎‎2‎‎+1‎+b‎3‎‎2‎‎3‎‎+1‎-⋯+‎(-1)‎nbn-1‎‎2‎n-1‎‎+1‎(n≥2)．‎ 故‎1‎‎2‎n‎-‎1‎‎2‎n-1‎=‎(-1)‎n+1‎bn‎2‎n‎+1‎,‎即bn‎=‎(-1)‎n(‎1‎‎2‎n+1)(n≥2)．‎ 当n=1‎时,a‎1‎‎=b‎1‎‎2+1‎,b‎1‎=‎3‎‎2‎．‎所以bn‎={‎‎3‎‎2‎‎,(n=1)‎‎(-1)‎n‎(‎1‎‎2‎n+1)．(n≥2,n∈N‎*‎)‎ ‎⑶ 因为cn‎=‎2‎n+λbn,‎ 所以当n≥3‎时,‎cn‎=‎2‎n+‎(-1)‎n(‎1‎‎2‎n+1)λ,cn-1‎=‎2‎n-1‎+‎(-1)‎n-1‎(‎1‎‎2‎n-1‎+1)λ．‎ 依据题意,有cn‎-cn-1‎=‎2‎n-1‎+‎(-1)‎nλ(2+‎3‎‎2‎n)>0,‎即‎(-1)‎nλ>-‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎．‎ ‎①当n为大于或等于‎4‎的偶数时,有λ>-‎‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎恒成立．‎ 又‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎‎=-‎‎1‎‎3‎‎2‎‎2n-1‎‎+‎‎1‎‎2‎n-2‎随n增大而增大,‎ 则当且仅当n=4‎时,‎(‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎)‎min‎=‎128‎‎35‎,‎故λ的取值范围为λ>-‎128‎‎35‎;‎ ‎②当n为大于或等于‎3‎的奇数时,有λ<‎‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎恒成立,且仅当n=3‎时,‎‎(‎2‎n-1‎‎3‎‎2‎n‎+2‎)‎min‎=‎32‎‎19‎,‎ 故λ的取值范围为λ<‎32‎‎19‎;‎ 又当n=2‎时,由cn‎-cn-1‎=c‎2‎-c‎1‎=(‎2‎‎2‎+‎5‎‎4‎λ)-(2+‎3‎‎2‎λ)>0,‎ 得λ<8．‎ 综上可得,所求λ的取值范围是‎-‎128‎‎35‎<λ<‎32‎‎19‎,‎ ‎5．【2017届北京市朝阳区高三二模】各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：‎ ‎① ；② ；③是的因数（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，写出数列的前五项； ‎ ‎（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时， 为常数，求的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时， 为常数．‎ ‎【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）的值为.（3）见解析 试题解析：解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 又数列的前3项互不相等，‎ ‎（1）当时，‎ 若，则，‎ 且对， 都为整数，所以；‎ 若，则，‎ 且对， 都为整数，所以；‎ ‎（2）当时，‎ 若，则，且对， 都为整数，所以，不符合题意；‎ 若，则，‎ 且对， 都为整数，所以；‎ 综上， 的值为. ‎ ‎（Ⅲ）对于，令，‎ ‎ 则.‎ ‎ 又对每一个， 都为正整数，所以 ，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.‎ ‎ 当时，则.‎ 从而.‎ 由题设知，又及均为整数，‎ 所以 ，故常数.‎ 从而常数.‎ 故存在正整数，使得时， 为常数.‎ ‎ ‎