2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二上学期第二次月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二上学期第二次月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．‎ ‎3．（5分）两直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0平行，则它们之间的距离为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎4．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．（5分）圆心在x轴上，半径长为 ，且过点（﹣2，1）的圆的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+y2=2 B．x2+（y+2）2=2‎ C．（x+3）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2‎ ‎6．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　）‎ A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15‎ ‎7．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．（5分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，+∞） B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）在直角坐标系中，直线3x﹣的倾斜角是　 　．‎ ‎10．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7=0与圆O2：x2+y2+6y﹣27=0的位置关系是　 　．‎ ‎11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　 　．‎ ‎12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　 　．‎ ‎13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为　 　．‎ ‎14．（5分）不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有4小题，共50分）‎ ‎15．已知直线过点P（2，1）．‎ ‎（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．‎ ‎（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．‎ ‎（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．‎ ‎16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．‎ ‎17．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．‎ ‎（Ⅰ）求过P点且弦长最短的弦所在直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．‎ ‎18．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；‎ ‎（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．‎ ‎【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，‎ 所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．‎ 故选B ‎【点评】此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．‎ ‎【分析】直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，‎ 利用它们的斜率相等解出m的值．‎ ‎【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．‎ 当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得 =，‎ 解得m=﹣1 或﹣7．‎ 当m=﹣1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=﹣7满足条件，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）两直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0平行，则它们之间的距离为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求得平行直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0之间的距离．‎ ‎【解答】解：平行直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0之间的距离是=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ ‎∴圆心为（1，1），半径为1‎ 圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，‎ 则所求距离最大为，‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）圆心在x轴上，半径长为 ，且过点（﹣2，1）的圆的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+y2=2 B．x2+（y+2）2=2‎ C．（x+3）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2‎ ‎【分析】设圆心坐标为（a，0），则由题意知=，解得a，即可求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆心坐标为（a，0），则由题意知=，解得a=﹣1或a=﹣3，‎ 故圆的方程为（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查方程思想，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　）‎ A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15‎ ‎【分析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵⊥，‎ ‎∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．‎ ‎∴．‎ ‎∵BP⊥平面ABC，‎ ‎∴，．‎ ‎∴化为，‎ 解得．‎ ‎∴，，z=4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定理，我们逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；‎ 由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；‎ 由面面平行的性质定理，易得③正确；‎ 由线面平行的性质定理，我们易得④正确；‎ 故选B ‎【点评】在判断空间线面的关系，熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，+∞） B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）‎ ‎【分析】如图所示，kl≥kPB或kl≤kPA，利用斜率计算公式得出即可．‎ ‎【解答】解：把A（﹣1，2）代入直线l：3x﹣my﹣m=0，得﹣3﹣2m﹣m=0，解得m=﹣1，∴=﹣3；‎ 把B（2，1）代入直线l：3x﹣my﹣m=0得3×2﹣m﹣m=0，解得m=3，∴=1．‎ 由题意可得：直线l的斜率的取值范围是kl≥1，或kl≤﹣3．‎ 故选D．‎ ‎【点评】由题意得出kl≥kPB或kl≤kPA和熟练掌握斜率计算公式等是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）在直角坐标系中，直线3x﹣的倾斜角是　　．‎ ‎【分析】设直线3x﹣的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．可得tanθ=，即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线3x﹣的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．‎ 则tanθ=﹣=，‎ 解得θ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7=0与圆O2：x2+y2+6y﹣27=0的位置关系是　相交　．‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7=0，化为标准方程为（x+3）2+y2=16，圆心为（﹣3，0），半径为4，‎ 圆O2：x2+y2+6y﹣27=0，化为标准方程为x2+（y+3）2=36，圆心为（0，﹣3），半径为6，‎ 圆心距为3‎ ‎∵6﹣4＜3＜6+4，‎ ‎∴两圆相交，‎ 故答案为：相交．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　　．‎ ‎【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，‎ 设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，‎ 球的体积为：，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　．‎ ‎【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．‎ ‎【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，‎ 圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，‎ 四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．‎ 故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，‎ 故答案为：16π﹣16．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为　30°　．‎ ‎【分析】取AC的中点E，连接BE，C1E，∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1‎ 所成的角，由此能求出BC1与侧面ACC1A1所成角的大小．‎ ‎【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，‎ ‎∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，‎ BC1=，BE==，‎ ‎∴sin∠BC1E===，‎ ‎∴∠BC1E=30°．‎ ‎∴BC1与侧面ACC1A1所成角为30°．‎ 故答案为：30°．‎ ‎【点评】本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是　﹣1≤a≤3　．‎ ‎【分析】直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．‎ ‎【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，‎ 曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），‎ 直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，‎ 即：所以，﹣1≤a≤3‎ 故答案为：﹣1≤a≤3．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有4小题，共50分）‎ ‎15．已知直线过点P（2，1）．‎ ‎（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．‎ ‎（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．‎ ‎（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．‎ ‎【分析】（1）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得m即可得出．‎ ‎（2）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得n即可得出．‎ ‎（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x．②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，把点（2，1）代入可得：a．‎ ‎【解答】解：（1）设直线方程为，过点P（2，1）…（2分）‎ 所以3+m=1，所以m=﹣2‎ 从而直线方程为…（4分）‎ ‎（2）设直线方程为，过点P（2，1）…（6分）‎ 所以，所以 从而直线方程为…（9分）‎ ‎（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，即x﹣2y=0．‎ ‎②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，‎ 把点（2，1）代入可得：a=2+1=3．可得直线方程为x+y﹣3=0．‎ 综上可得：要求的直线方程为：x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查了相互平行于垂直的直线斜率之间的关系、截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，推导出PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PCD，进而PC⊥AB．‎ ‎（Ⅱ）由已知推导出，，，从而CD⊥PD，进而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，（ 1分）‎ ‎∵侧面PAB为等边三角形，AP=BP，‎ ‎∴PD⊥AB，（2分）‎ 又AC=BC，∴CD⊥AB．（3分）‎ ‎∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．（5分）‎ ‎∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，‎ ‎∴，．（7分）‎ 又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴．（8分）‎ ‎∵，∴PC2=CD2+PD2．‎ ‎∴∠CDP=90°，∴CD⊥PD（9分）‎ ‎∵CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，（11分）‎ ‎∵CD⊂平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．‎ ‎（Ⅰ）求过P点且弦长最短的弦所在直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用半径与弦垂直时的弦长最短求出直线的方程．‎ ‎（Ⅱ）利用分类讨论的思想，进一步利用直线与圆相切求出切线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5），‎ ‎∴由题意，过P点且与CP垂直的弦长最短，‎ ‎∵圆心C点坐标为（3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴所求直线的斜率k=1，代入点斜式方程，‎ 得y﹣5=x﹣2，‎ 即x﹣y+3=0．‎ 过P点的所有弦中，‎ 弦长最短的弦所在的直线方程为x﹣y+3=0．‎ ‎（Ⅱ）①当直线垂直x轴时，即x=5，‎ 圆心C到直线的距离为2，‎ 此时直线x=5与圆C相切，（8分）‎ ‎②当直线不垂直x轴时，‎ 设直线方程为y=k（x﹣5），‎ 即kx﹣y﹣5k=0，‎ 圆心C到直线的距离，‎ 解得：，‎ ‎∴所求切线方程为3x+4y﹣15=0或x=5．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；‎ ‎（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．‎ ‎【分析】（1）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可；‎ ‎（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角，然后求二面角A﹣DF﹣B的大小．‎ ‎（3）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量夹角的余弦值为，得到关于t 的等式，由此可求得P点的坐标 ‎【解答】解：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，‎ ‎∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，‎ ‎∴四边形AOEM是平行四边形，‎ ‎∴AM∥OE ‎∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，‎ ‎∴AM∥平面BDE ‎（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，‎ ‎∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，‎ ‎∴AB⊥平面ADF，‎ ‎∴AS是BS在平面ADF上的射影，‎ 由三垂线定理得BS⊥DF ‎∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角 在Rt△ASB中，AS==，AB=，‎ ‎∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，‎ ‎∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；‎ ‎（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），‎ 则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0）‎ 又∵，夹角为60°，∴，‎ 解之得t=或t=（舍去），‎ 故点P为AC的中点时满足题意．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；（1，2也可以利用空间直角坐标系）‎ ‎　‎