【推荐】专题11-3+二项式定理-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题11-3+二项式定理-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

1. 【2017 课标 1，理 6】 6 2 1(1 )(1 )xx   展开式中 2x 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【考点】二项式定理 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好 2x 的 项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式 展开式中的 r 不同. 2. 【2017 课标 3，理 4】  52x y x y  的展开式中 x 3 y 3 的系数为 A． 80 B． 40 C．40 D．80 【答案】C 【解析】 试题分析：      5 5 52 2 2x y x y x x y y x y      ， 由 52x y 展开式的通项公式：    5 1 5 2 r rr rT C x y    可得： 当 3r  时，  52x x y 展开式中 3 3x y 的系数为  33 2 5 2 1 40C      ， 当 2r  时，  52y x y 展开式中 3 3x y 的系数为  22 3 5 2 1 80C     ， 则 3 3x y 的系数为80 40 40  . 故选 C. 【考点】 二项式展开式的通项公式 【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件 (特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为 非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的 项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 3. 【2017 浙江，13】已知多项式  1x 3  2x 2= 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5x a x a x a x a x a     ，则 4a =________， 5a =________． 【答案】16，4 【考点】二项式定理 【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题 热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项 公式 1 r n r r r nT C a b   ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系 数和；（3）二项式定理的应用． 考点 了解 A 掌握 B 灵活运用 C 二项式定理 B 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题 难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中 的第 n 项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝C0 nan＋C1 nan－1b1＋…＋Ck nan－kbk＋…＋Cn nbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tk＋1＝Ck nan－kbk，它表示第 k＋1 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 Ck n(k∈{0,1,2，…，n}) 2.二项式系数的性质 (1)C0 n＝1，Cn n＝1. Cm n＋1＝Cm－1 n ＋Cm n. (2)Cm n＝Cn－m n . (3)n 是偶数时， 12 nT  项的二项式系数最大；n 是奇数时， 1 2 nT 与 1 12 nT   项的二项式系数相等且最大． (4)C0 n＋C1 n＋C2 n＋…＋Cn n＝2n. 【知识拓展】 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数 由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0 n，C1 n，一直到 Cn－1 n ，Cn n. 题型一 二项展开式 命题点 1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 1 (1)(2016·全国乙卷)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是______________．(用数字填写答案) (2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】 (1)10 (2)C 方法二 利用组合知识求解． (x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C2 5C2 3＝30. 故选 C. 命题点 2 已知二项展开式某项的系数求参数 例 2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝ ____________. (2) (2016·山东)若 ax2＋ 1 x 5 的展开式中 x5 的系数为－80，则实数 a＝________. 【答案】 (1)3 (2)－2 解题技巧与方法总结 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项 时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k＋1，代回通项公式即可． 【变式训练】(1)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________．(用数字填写答案) (2)(x＋a)10 的展开式中，x7 的系数为 15，则 a＝________.(用数字填写答案) 【答案】 (1)－20 (2)1 2 【解析】 (1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为 C7 8， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C6 8， ∴x2y7 的系数为 C7 8－C6 8＝8－28＝－20. (2)设通项为 Tk＋1＝Ck 10x10－kak，令 10－k＝7， ∴k＝3，∴x7 的系数为 C3 10a3＝15， ∴a3＝1 8 ，∴a＝1 2 . 题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 典例 3 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和． 【答案】见解析 解题技巧与方法总结 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子 求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开 式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋ a4＋…＝f 1 ＋f －1 2 ，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f 1 －f －1 2 . 【变式训练】(1)(2016·北京海淀区模拟)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x ＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a＝7b，则 m 等于( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 B 【解析】 由题意得 a＝Cm 2m，b＝Cm＋1 2m＋1， ∴13Cm 2m＝7Cm＋1 2m＋1， ∴13· 2m ！ m！·m！ ＝ 7· 2m＋1 ！ m！· m＋1 ！ ， ∴7 2m＋1 m＋1 ＝13，解得 m＝6， 经检验符合题意，故选 B. (2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则a1 2 ＋a2 22＋…＋a2 016 22 016的结果是多少？ 解 当 x＝0 时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 当 x＝1 2 时，左边＝0，右边＝a0＋a1 2 ＋a2 22＋…＋a2 016 22 016， ∴0＝1＋a1 2 ＋a2 22＋…＋a2 016 22 016. 即a1 2 ＋a2 22＋…＋a2 016 22 016＝－1. 题型三 二项式定理的应用 典例 4 (1)设 a∈Z 且 0≤a＜13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a 等于( ) A．0 B．1 C．11 D．12 (2)1.028 的近似值是________．(精确到小数点后三位) 【答案】 (1)D (2)1.172 解题技巧与方法总结 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而 求近似值则应关注展开式的前几项． (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 【变式训练】 (1)1－90C1 10＋902C2 10－903C3 10＋…＋(－1)k90kCk 10＋…＋9010C 10 10除以 88 的余数是( ) A．－1 B．1 C．－87 D．87 【答案】 B 1．（河南省名校联盟 2018 届高三第一次段考）在 的展开式中， 项的系数为（ ） A. 32 B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，根据二项式定理 项的系数为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查二项式定理及其通项公式、项的系数等知识，涉及分类与整合思想和转化与化归思 想，并考运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题型.解决本题的关键是先化简 ，再根据二项式定理 项的系数为 . 2．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2016-2017 学年高二下学期期末联考）在 (1+x)6(1+y)4 的展开式中，记 m nx y 项的系数为  ,f m n ，则  3,0f 的值为 ( ) A. 4 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】∵(1+x)6(1+y)4 的展开式中,含 x3y0 的系数是：   3 63,0 20f C  ， 本题选择 C 选项. 3．（河南省八市重点高中 2018 届高三第一次测评）二项式 51 22 x y    的展开式中 3 2x y 的系数是( ) A. 5 B. 20 C. 20 D. 5 【答案】A 4. （江西省赣州市第三中学 2018 届高三第一次月考）已知   2 0 cosa x dx    ，则 91 2ax ax     展开式中， 3x 项的系数为（ ） A. 63 8 B. 21 2  C. 63 16 D. 63 8  【答案】B 【解析】   2 2 0 0 cos sin 1a x dx x         ∣ ， 则二项式 91 2ax ax     的展开式的通项公式为 9 2 1 9 1 2 r r rT C r x          ， 令 9−2r=3，求得 r=3， ∴展开式中 x3 项的系数为 3 9 1 21 8 2C    ， 本题选择 B 选项. 点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数， 且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5. （宁夏育才中学 2016-2017 学年高二下学期期末考试）二项式   *1 nx n N  的展开式中 2x 项的系数 为15 ，则 n （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】二项式 1 nx  的展开式的通项是 1 Cr r r n x  ，令 2r  得 2x 的系数是 2Cn ，因为 2x 的系数为15 ， 所以 2C 15n  ，即 ，解得： 6n  或 5n   ，因为 n  ，所以 6n  ，故选 C． 【考点定位】二项式定理． 6. （河南省师范大学附属中学 2018 届高三 8 月开学考试）已知  9 2 9 0 1 2 92x a a x a x a x      ，则    2 2 1 3 5 7 9 2 4 6 83 5 7 9 2 4 6 8a a a a a a a a a        的值为（ ） A. 93 B. 103 C. 113 D. 123 【答案】D 考点：二项式定理的系数及导数的应用． 【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的系数问题及导数的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特 点，通过二项式的 x 赋值，可以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法 的应用，本题的解答中，先对二项展开式两边同时取导数，分类令 1x  和 1x   ，即可求得 10 1 2 3 92 3 9 3a a a a    和 1 2 3 4 92 3 4 9 9a a a a a     ，从而求解原式子的值． 7.（河南省师范大学附属中学 2018 届高三 8 月开学考试） 41 2x 展开式中第 3 项的二项式系数为（ ） A. 6 B. -6 C. 24 D. -24 【答案】A 【解析】试题分析：第 3 项的二项式系数为 2 4 6C  ,选 A. 考点：二项式系数 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 （1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r＋1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可. （2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数. 8. （江西省六校 2018 届高三上学期第五次联考）已知数列 为等差数列，且满足 ．若 展开式中 项的系数等于数列 的第三项，则 的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】由题意 ， 展开式中 的为 ，所以 ， ． 点睛：本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质 9、（辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末）已知 *n N ，在  2 nx  的展开式中，第二项系数是第三项系数的 1 5 ． （Ⅰ）展开式中二项系数最大项； （Ⅱ）若     2 0 1 22 1 1nx a a x a x       1 n na x   ，求① 1 2 na a a   的值；② 1 22 na a na   的值． 【答案】（Ⅰ） 3 3 3 3 4 6 2 160T C x x  ；（Ⅱ）63；192. 试题解析： （Ⅰ）由题得 1 2 212 25n nC C  ，解得 6n  ∴展开式中二项式系数最大项为 3 3 3 3 4 6 2 160T C x x  （Ⅱ）    662 1 1x x          2 0 1 21 1a a x a x     6 6 1a x   ， 令 0x  ，得 6 0 1 6 2 64a a a     又令 1x   ，得 0 1a  ① 1 2 63na a a    ②将     662 1 1x x          2 0 1 21 1a a x a x     6 6 1a x   ， 两边求导，得    5 1 26 2 2 1x a a x      11 n nna x    令 0x  ，得 1 22 192na a na    10、（江西省抚州市金溪一中等七校 2016-2017 学年高二下学期期末）定义：在等式  2 0 2 1 2 11 n n n n nx x D x D x      2 2 2n nD x   2 1 2n n n nD x D   n N 中，把 0 nD ， 1 nD ， 2 nD ，…， 2n nD 叫做三项式的 n 次系数列(如三项式的 1 次系数列是 1，1，1). (1)填空：三项式的 2 次系数列是_______________； 三项式的 3 次系数列是_______________； (2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质 1 1 k k k n n nC C C     ,类似的请用三项式 n 次系数列中的系数 表示  1 1 1 2 1,k nD k n k N      (无须证明)； (3)求 3 6D 的值. 【答案】 （1）1,2,3,2,1; 1,3,6,7,6,3,1（2）  1 1 1 1 1 2 1,k k k k n n n nD D D D k n k N           （3）50 （2）  1 1 1 1 1 2 1,k k k k n n n nD D D D k n k N           ； （3） 3 6D 表示 62 1x x  展开式中 9x 的系数，所以 3 4 1 3 3 6 6 2 6 3 50D C C C C   ．