2017-2018学年河南省鹤壁市高二下学期期末考试（理科）数学试题-（解析版）

2017-2018学年河南省鹤壁市高二下学期期末考试（理科）数学试题-（解析版）

绝密★启用前 河南省鹤壁市2017-2018学年高二下学期期末考试（理科）数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．线性回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和（ ）‎ A. 越大 B. 越小 C. 可能大也可能小 D. 以上都不对 ‎2．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）‎ A. 至少有两个解 B. 有且只有两个解 C. 至少有三个解 D. 至多有一个解 ‎3．—个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（ ）‎ A. 6米秒 B. 7米秒 C. 8米秒 D. 9米秒 ‎4．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）‎ A. 在数列|中，由此归纳出的通项公式 B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C. 某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人 D. 两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则 ‎5．已知随机变量，若，则分别是（ ）‎ A. 6和5.6 B. 4和2.4 C. 6和2.4 D. 4和5.6‎ ‎6．用数学归纳法证明某命题时，左式为 在验证时，左边所得的代数式为（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎7．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）‎ A. 34 种 B. 35 种 C. 120 种 D. 140 种 ‎8．设函数在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎10．观察两个变量(存在线性相关关系）得如下数据:‎ 则两变量间的线性回归方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．复数在复平面中对应的点位于第__________象限.‎ ‎14． 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .‎ ‎15．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图.在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：，其 中是行数，.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．‎ ‎16．下列命题中 ‎①若，则函数在取得极值；‎ ‎②直线与函数的图像不相切；‎ ‎③若(为复数集），且，则的最小值是3；‎ ‎④定积分.‎ 正确的有__________．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知a，b，c均为正数，证明： 并确定a、b、‎ c为何值时，等号成立．‎ ‎18．已知函数，。‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在处的切线方程.‎ ‎19．已知在的展开式中，第6项为常数项.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项.‎ ‎20．已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎21．为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况，从中随机抽取了16名男同学和14 名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱.‎ ‎（1）根据以上数据完成以下列联表：‎ ‎（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？‎ ‎（3）将以上统计结果中的频率视作概率，从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值.‎ 参考数据：‎ ‎22．已知函数/(x.‎ ‎（1）当时，求在最小值；‎ ‎（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】分析：根据回归分析中相关指数的公式可以清楚地看到它和残差平方和的关系，进而得到结果.‎ 详解：在回归分析中，相关指数R2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，故B正确；‎ 故答案为：B.‎ 点睛：本题考查了独立性检验，相关系数，相关指数，回归分析的定义及性质，难度不大，属于基础题。‎ ‎2．C ‎【解析】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．‎ 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立， 命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”， 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．‎ ‎3．D ‎【解析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度 详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t2‎ s′=﹣1+2t s′|t=5=9.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可．‎ ‎4．D ‎【解析】分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．‎ 详解：A在数列{an}中，a1=1，，通过计算a2，a3，a4由此归纳出{an}的通项公式”是归纳推理．‎ B选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理 C选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；‎ D选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理.‎ 综上得，D选项正确 故选：D ．‎ 点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论．‎ ‎5．B ‎【解析】分析：根据变量ξ～B（10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．‎ 详解：∵ξ～B（10，0.4），‎ ‎∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，‎ ‎∵η=8﹣ξ，‎ ‎∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ 试题分析：用数学归纳法证明某命题时，左式为 在验证时，左边所得的代数式应为；‎ 故选B ‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎7．A ‎【解析】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4‎ 人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．‎ 详解：分3步来计算， ①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况； ②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生， ③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种； 故选：A．‎ 点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．‎ ‎8．D ‎【解析】试题分析：由的图形可判断， 在区间上递增；在区间先增再减再增，所以区间上， ，在区间上，先有，再有，再有，故选D．‎ 考点：函数的单调性与导数的关系．‎ ‎9．A ‎【解析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，‎ 当时，.‎ 考点：二项式定理、积分的运算.‎ ‎10．B ‎【解析】分析：根据表中数据，计算、，再由线性回归方程过样本中心点，排除A、C、D选项即可．‎ 详解：根据表中数据，得；‎ ‎=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，‎ ‎=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；‎ ‎∴两变量x、y间的线性回归方程过样本中心点（0，0），‎ 可以排除A、C、D选项，B选项符合题意．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.‎ ‎11．C ‎【解析】分析：在所给的等式中，令x=0，可得a0=1，再令x=，可得=0，由此求得的值．‎ 详解：∵（1﹣2x）2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018（x∈R），根据二项式的展开式的通项得到，令x=0，可得a0=1，‎ 原式令x=，可得得到 ‎ ‎ ‎ 结合两式得到 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。‎ ‎12．A ‎【解析】分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2‎ ‎，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．‎ 详解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，‎ 由题意得：‎ α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，‎ ‎①∵ln（β+1）=，‎ ‎∴（β+1）β+1=e，‎ 当β≥1时，β+1≥2，‎ ‎∴β+1≤＜2，‎ ‎∴β＜1，这与β≥1矛盾，‎ ‎∴﹣1＜β＜1；‎ ‎②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，‎ ‎∴3γ2＞0‎ ‎∴γ3＞1，‎ ‎∴γ＞1．‎ ‎∴γ＞α＞β．‎ 故选：A．‎ 点睛：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎13．四 ‎【解析】分析：根据复数的除法运算和加法运算公式得到结果即可.‎ 详解：复数 ‎ 对应的点为（）位于第四象限.‎ 故答案为：四.‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎14． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意：，解得： ，所以答案应填：‎ 考点：正态分布.‎ ‎15．‎ ‎【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．‎ 详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，‎ 而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子，有．‎ 故答案为：．‎ 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．‎ ‎16．②③④‎ ‎【解析】分析：①结合极值点的概念，加以判断即可；②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．‎ 详解：①若，且是变号零点，则函数在取得极值，故选项不正确；‎ ‎②直线与函数的图像不相切；直线化为函数形式为，，，，两者不能相切，故选项正确;‎ ‎③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；‎ ‎④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分= ，故④正确．‎ 故答案为：②③④‎ 点睛：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.‎ ‎17．利用重要不等式a2＋b2≥2ab来分析并证明，先展开，然后借助于不等式来得到。‎ ‎【解析】试题分析：、证明 因为a，b，c均为正数，由均值不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①‎ 同理，②‎ 故.③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；‎ 当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．‎ 即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．‎ 考点：重要不等式 点评：主要是考查了运用重要不等式进行放缩来证明不等式的方法，属于中档题。‎ 视频 ‎18．（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可；（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程．‎ 详解：‎ ‎（1） 依题意有①‎ ‎ ②‎ 由①②解有 所以的解析式是 ‎（2）在处的切线的斜率 所以有即 故所求切线的方程为.‎ 点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎19．（1）；（2），，‎ ‎【解析】分析：（1）利用通项公式即可得出；（2）根据通项公式，由题意得，令=k（k∈Z），r=5﹣k．对k取值即可得出．‎ 详解：‎ 展开式通项为 ‎ ‎ ‎（1）∵第6项为常数项，∴时有，即 ‎（2）根据通项，由题意得 令则有，即.‎ ‎∵且，∴应为偶数 ‎∴可取，即可取2,5,8‎ ‎∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为，，.‎ 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。‎ ‎20．（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）化简复数为代数形式后，再结合复数模的公式，即可求解；（2）化简复数z为 1+i，由条件可得 a+b+（a+2）i=1﹣i，解方程求得a，b的值．‎ 详解：‎ ‎（1）化简得 ‎ ‎（2） 解得 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）本题是一个简单的数字的运算，根据a，b，c，d的已知和未知的结果，做出空格处的结果；（2）假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关；（3）喜爱运动的人数为ξ，ξ的取值分别为0，1，2，3，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．‎ 详解：‎ ‎（1）‎ ‎（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得，‎ ‎ ‎ 因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.‎ ‎（3）统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为.‎ 喜爱运动的人数为的取值分别为：0,1,2,3，则有：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 喜爱运动的人数为的分布列为：‎ 因为，所以喜爱运动的人数的值为.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎22．（1）1；（2）；（3）见解析 ‎【解析】分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．‎ 详解：‎ ‎（1），定义域为.‎ ‎∵ ‎ ‎∴在上是增函数.‎ ‎.‎ ‎（2）因为 ‎ 因为若存在单调递减区间，所以有正数解.‎ 即有有解.‎ ‎①当时，明显成立.‎ ‎②当时，开口向下的抛物线，总有有解；‎ ‎③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.‎ 当时，；‎ ‎，解得.‎ 综合①②③知：.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.‎ 令，则有，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（法二）当时，.‎ ‎∵，∴，即时命题成立.‎ 设当时，命题成立，即.‎ ‎∴时，‎ 根据（1）的结论，当时，，即.‎ 令，则有，‎ 则有，‎ 即时命题也成立.‎ 因此，由数学归纳法可知不等式成立.‎ 点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.‎