安徽省蚌埠市2020届高三9月第一次教学质量检查（文）答案

安徽省蚌埠市2020届高三9月第一次教学质量检查（文）答案

蚌埠市 ２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题： 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ 二、填空题： １３．７　　　１４．２　　　　　１５．１５　　　　１６．ｘ２ ４ －ｙ２ １２＝１ 三、解答题： １７．（１０分） 解：（１）因为 ∠ＢＡＣ ＝９０°，∠ＢＡＤ ＝６０°，所以 ∠ＣＡＤ ＝３０°， ２分……………………… 在 △ＡＣＤ中，由正弦定理知， ＡＣ ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝ ＣＤ ｓｉｎ∠ＣＡＤ， 所以 ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝ＡＣ ＣＤ·ｓｉｎ∠ＣＡＤ ＝槡２ ２， ∵∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ ＜３０°＋∠９０°＝∠１２０°，∴∠ＡＤＣ ＞６０°， 故 ∠ＡＤＣ ＝３π ４． ５分………………………………………………………………… （２）由 ＡＣ ＝槡３ＤＣ，ＢＤ ＝２ＤＣ，所以 ＢＣ ＝３ＤＣ， 在直角 △ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＡＢ２ ＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２， 所以 ６＋３ＤＣ２ ＝９ＤＣ２，解得 ＤＣ ＝１ ７分………………………………………… ｃｏｓＣ ＝ＡＣ ＢＣ ＝槡３ ３，在 △ＡＤＣ中，由余弦定理得， ＡＤ２ ＝ＤＣ２ ＋ＡＣ２ －２ＤＣ·ＡＣ·ｃｏｓＣ ＝２， 解得 ＡＤ ＝槡２ １０分………………………………………………………………… １８．（１２分） 解：（１）由 ａｎ＋１ ＝２ａｎ ＋２ｎ＋１，得ａｎ＋１ ２ｎ＋１ ＝２ａｎ ＋２ｎ＋１ ２ｎ＋１ ＝ａｎ ２ｎ ＋１， ３分………………………… 即 ｂｎ＋１ －ｂｎ ＝１（常数），所以数列｛ｂｎ｝为等差数列． ５分………………………… （２）因为 ｂ１ ＝ａ１ ２ ＝１，数列｛ｂｎ｝为等差数列，公差为 １， 所以 ｂｎ ＝ｎ，ｎ∈ Ｎ ，由 ｂｎ ＝ａｎ ２ｎ ＝ｎ，得 ａｎ ＝ｎ·２ｎ， ８分……………………… 所以 Ｓｎ ＝１×２１ ＋２×２２ ＋３×２３ ＋… ＋ｎ×２ｎ， 从而 ２Ｓｎ ＝１×２２ ＋２×２３ ＋３×２４ ＋… ＋（ｎ－１）×２ｎ ＋ｎ×２ｎ＋１， 两式相减，得 －Ｓｎ ＝２＋２２ ＋２３ ＋… ＋２ｎ －ｎ·２ｎ＋１， １０分……………………… 即 －Ｓｎ ＝（１－ｎ）×２ｎ＋１ －２，所以 Ｓｎ ＝（ｎ－１）２ｎ＋１ ＋２． １２分………………… １９．（１２分） 解：（１）（方法一）由已知，ＢＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，ＡＥ 平面 ＰＡＢ，所以 ＡＥ⊥ ＢＣ． ２分……… ）页４共（页１第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌 由 ＰＡ＝ＰＢ ＝ＡＢ，点 Ｅ为线段 ＰＢ的中点，所以 ＡＥ⊥ ＰＢ． ４分………………… 又 ＰＢ∩ ＢＣ ＝点 Ｂ，所以 ＡＥ⊥ 平面 ＰＢＣ．又 ＡＥ 平面 ＤＡＥ， 所以平面 ＤＡＥ⊥ 平面 ＰＢＣ． ６分…………………………………………………… （方法二）由 ＰＡ＝ＰＢ ＝ＡＢ，点 Ｅ为线段 ＰＢ的中点，所以 ＡＥ⊥ ＰＢ． ２分…… 由已知，ＢＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，所以 ＢＣ⊥ ＰＢ，而 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ＡＤ⊥ ＰＢ． ４分…… 又 ＡＤ∩ ＡＥ ＝点 Ａ，所以 ＰＢ⊥ 平面 ＤＡＥ．又 ＰＢ 平面 ＰＢＣ， 所以平面 ＤＡＥ⊥ 平面 ＰＢＣ． ６分…………………………………………………… （２）（方法一）由 ＡＤ∥ ＢＣ，可得 ＢＣ∥ 平面 ＤＡＥ，所以点 Ｃ到平面 ＤＡＥ的距离等于点 Ｂ到平面 ＤＡＥ的距离． ８分…………………………………………………………… 由已知 ＢＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，ＡＤ∥ ＢＣ，易证 ＡＤ⊥ 平面 ＰＡＢ， 由 ＰＡ＝ＰＢ ＝ＡＢ ＝２，ＡＤ ＝１，所以 ＡＥ ＝槡３， ＶＤ－ＡＣＥ ＝ＶＣ－ＤＡＥ ＝ＶＢ－ＤＡＥ ＝ＶＤ－ＡＥＢ ＝ １ ３Ｓ△ＡＥＢ·ＡＤ ＝ １ ３ ×槡３ ２ ×１＝槡３ ６， 即三棱锥 Ｄ－ＡＣＥ的体积为槡３ ６． １２分……………………………………………… （方法二）取 ＡＢ中点 Ｈ，连接 ＰＨ．由 ＰＡ＝ＰＢ ＝ＡＢ ＝２，得 ＰＨ⊥ ＡＢ． 而 ＢＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，ＰＨ 平面 ＰＡＢ，所以 ＢＣ⊥ ＰＨ． 又 ＡＢ∩ ＢＣ ＝点 Ｂ，所以 ＰＨ⊥ 平面 ＡＢＣＤ， ８分………………………………… 且 ＰＨ＝槡３．又点 Ｅ为线段 ＰＢ的中点，所以点 Ｅ到平面 ＡＢＣＤ的距离为 １ ２ＰＨ＝槡３ ２， 从而 ＶＤ－ＡＣＥ ＝ＶＥ－ＡＣＤ ＝ １ ３ ×Ｓ△ＡＣＤ ×槡３ ２ ＝ １ ３ ×１×槡３ ２ ＝槡３ ６， 即三棱锥 Ｄ－ＡＣＥ的体积为槡３ ６． １２分……………………………………………… ２０．（１２分） 解：（１）由表中数据，得 ｘ— ＝ １ ５ ×（２＋４＋６＋８＋１０）＝６， ｙ— ＝ １ ５ ×（１６＋１３＋９．５＋７＋４．５）＝１０， ２分………………………………… 由最小二乘法得 ｂ∧ ＝２×１６＋４×１３＋６×９．５＋８×７＋１０×４．５－５×６×１０ ４＋１６＋３６＋６４＋１００－５×３６ ＝－１．４５， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４分………………………………… ａ∧ ＝１０－（－１．４５）×６＝１８．７， 所以 ｙ关于 ｘ的回归直线方程为 ｙ＝－１．４５ｘ＋１８．７． ６分……………………… （２）由题意，ｚ＝ｙ－ｗ ＝－１．４５ｘ＋１８．７－（０．０５ｘ２ －１．７５ｘ＋１７．２） ＝－０．０５ｘ２ ＋０．３ｘ＋１．５， 其中 ０＜ｘ≤ １０，且 ｘ∈ Ｎ， ９分…………………………………………………… ｚ＝－０．０５ｘ２ ＋０．３ｘ＋１．５＝－０．０５（ｘ－３）２ ＋１．９５， 所以预测 ｘ＝３时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大． １２分……………… ２１．（１２分） 解：（１）由 ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ ｘ ＋１，得 ｇ′（ｘ）＝１－ｌｎｘ ｘ２ ，定义域为（０，＋∞）． ）页４共（页２第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌 令 ｇ′（ｘ）＝０，解得 ｘ＝ｅ， ２分……………………………………………………… 列表如下： ｘ （０，ｅ） ｅ （ｅ，＋∞） ｇ′（ｘ） ＋ ０ － ｇ（ｘ） 单调递增 极大值 单调递减 结合表格可知函数 ｇ（ｘ）的极大值为 ｇ（ｅ）＝ １ ｅ＋１，无极小值． ５分…………… （２）（方法一）令 ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ ｅ －ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０， 则 ｆ′（ｘ）＝ｘｅｘ ＋ｅｘ ｅ －１－１ ｘ ＝（ｘ＋１）ｅｘ ｅ －ｘ＋１ ｘ ＝（ｘ＋１）（ｅｘ－１ －１ ｘ）， ７分 …… ………………………………………………………………………………… 令 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１ －１ ｘ，易知 Ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单增，且 Ｆ（１）＝０， 所以当 ０＜ｘ＜１时，Ｆ（ｘ）＜０，从而 ｆ′（ｘ）＜０； 当 ｘ＞１时，Ｆ（ｘ）＞０，从而 ｆ′（ｘ）＞０， 即 ｆ（ｘ）在（０，１）单减，在（１，＋∞）单增， 则 ｆ（ｘ）的最小值为 ｆ（１）＝０， １０分………………………………………………… 所以当 ｘ＞０时，ｆ（ｘ）≥ ｆ（１）＝０，即ｘｅｘ ｅ －ｘ－ｌｎｘ≥ ０， 从而ｅｘ ｅ≥ ｌｎｘ ｘ ＋１，不等式得证． １２分……………………………………………… （方法二）记 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ －ｅｘ，则 Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ －ｅ， 显然 Ｆ′（１）＝０，且 ｘ＜１时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减， ｘ＞１时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增， 所以 Ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝Ｆ（１）＝０，故 Ｆ（ｘ）≥ ０，等号成立当且仅当 ｘ＝１． 故ｅｘ ｅ≥ ｘ，等号成立当且仅当 ｘ＝１． ８分…………………………………………… 欲证ｅｘ ｅ≥ ｇ（ｘ），只需证明 ｘ≥ ｌｎｘ ｘ ＋１，即 ｘ２ －ｘ－ｌｎｘ≥ ０． 记 Ｇ（ｘ）＝ｘ２ －ｘ－ｌｎｘ，则 Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－１－１ ｘ ＝（ｘ－１）（２ｘ＋１） ｘ ， 从而 ０＜ｘ＜１时，Ｇ′（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）单调递减， ｘ＞１时，Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）单调递增， 所以，Ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝Ｇ（１）＝０，可得 Ｇ（ｘ）≥ ０，即ｅｘ ｅ≥ ｇ（ｘ）． １２分………………… ２２．（１２分） 解：（１）由题意，△ＥＡＢ是等腰直角三角形，且 ＥＡ⊥ ＥＢ． 不妨设点 Ａ位于第一象限，则直线 ＥＡ的方程为 ｙ＝ｘ＋ ｐ ２， 联立方程， ｙ２ ＝２ｐｘ ｙ＝ｘ＋ ｐ{ ２ ，解得 ｘ＝ ｐ ２{ｙ＝ｐ ， ）页４共（页３第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌 所以点 Ａ（ｐ ２，ｐ），Ｂ（ｐ ２，－ｐ），Ｅ（－ ｐ ２，０）． ３分…………………………………… Ｓ△ＥＡＢ ＝ １ ２ ×ｐ×２ｐ＝ｐ２ ＝４，解得 ｐ＝２， 故抛物线 Ｃ的方程为 ｙ２ ＝４ｘ． ６分………………………………………………… （２）（方法一）设 Ａ（ｘ０，ｙ０），Ｂ（ｘ０，－ｙ０）， 则直线 ＥＢ的方程为 ｙ＝－ ｙ０ ｘ０ ＋ ｐ ２ （ｘ＋ ｐ ２）， 联立方程， ｙ２ ＝２ｐｘ ｙ＝－ ｙ０ ｘ０ ＋ ｐ ２ （ｘ＋ ｐ ２{ ），消去 ｘ， 得关于 ｙ的方程ｙ０ ２ｐｙ２ ＋（ｘ０ ＋ ｐ ２）ｙ＋ｐｙ０ ２ ＝０， ８分……………………………… 该方程有一个根 －ｙ０，两根之积为 ｐ２， 则另一个根为 －ｐ２ ｙ０ ，所以点 Ｄ的坐标为（ｐ３ ２ｙ２ ０ ，－ｐ２ ｙ０ ）． 直线 ＡＤ的斜率为 ｙ０ ＋ｐ２ ｙ０ ｘ０ － ｐ３ ２ｙ２ ０ ＝ ｙ０ ＋ｐ２ ｙ０ ｙ２ ０ ２ｐ－ ｐ３ ２ｙ２ ０ ＝ ２ｐｙ０ ｙ２ ０ －ｐ２， １０分…………………………… 所以 ＡＤ的方程为 ｙ－ｙ０ ＝ ２ｐｙ０ ｙ２ ０ －ｐ２（ｘ－ｙ２ ０ ２ｐ），化简得 ｙ＝ ２ｐｙ０ ｙ２ ０ －ｐ２（ｘ－ ｐ ２）， 所以直线 ＡＤ过定点（ｐ ２，０）． １２分………………………………………………… （方法二）设 Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），Ａ（ｘ１，－ｙ１），直线 ＢＥ的方程为 ｘ＝ｎｙ－ ｐ ２， 联立方程， ｙ２ ＝２ｐｘ ｘ＝ｎｙ－ ｐ{ ２ ，消去 ｘ，得关于 ｙ的方程 ｙ２ －２ｎｐｙ＋ｐ２ ＝０， 所以 ｙ１ ＋ｙ２ ＝２ｎｐ，ｙ１ｙ２ ＝ｐ２， ８分………………………………………………… 则 ｋＡＤ ＝ｙ２ ＋ｙ１ ｘ２ －ｘ１ ＝ ２ｎｐ （ｎｙ２ － ｐ ２）－（ｎｙ１ － ｐ ２） ＝ ２ｐ ｙ２ －ｙ１ ， 直线 ＡＤ的方程为 ｙ＝ ２ｐ ｙ２ －ｙ１ （ｘ－ｘ２）＋ｙ２， １０分………………………………… 化简得 ｙ＝ ２ｐ ｙ２ －ｙ１ ｘ－ ２ｐｘ２ ｙ２ －ｙ１ ＋ｙ２ ２ －ｙ１ｙ２ ｙ２ －ｙ１ ＝ ２ｐ ｙ２ －ｙ１ （ｘ－ ｐ ２）， 所以直线 ＡＤ过定点（ｐ ２，０）． １２分………………………………………………… （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页４共（页４第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌