2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

‎2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.若集合A={x|x2﹣5x≥0},则∁RA=( )‎ A.(0,5) B.(﹣∞,0]‎ C.[5,+∞) D.(﹣∞,0]∪[5,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】可以求出集合,然后进行补集的运算即可.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 或,‎ ‎.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法,补集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎2.若一组数据的茎叶图如图,则该组数据的中位数是( )‎ A.79 B.79.5 C.80 D.81.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由给定的茎叶图得到原式数据,再根据中位数的定义,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,根据给定的茎叶图可知,原式数据为:,‎ 再根据中位数的定义,可得熟记的中位数为,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的应用,以及中位数的概念与计算,其中真确读取茎叶图的数据,熟记中位数的求法是解答的关键,属于基础题.‎ ‎3.设抛物线的焦点为,点在抛物线上,则“”是“点到轴的距离为2”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的定义和标准方程,即可判定充分性和必要性都成立,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,抛物线可化为,则,即,‎ 设点的坐标为,‎ 因为,根据抛物线的定义可得,点到其准线的距离为,‎ 解得,即点到轴的距离为2,所以充分性是成立的;‎ 又由若点到轴的距离为2,即,则点到其准线的距离为,‎ 根据抛物线的定义,可得点到抛物线的焦点的距离为3,即,所以必要性是成立的,即“”是“点到轴的距离为2”的充要条件,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用,以及充要条件的判定,其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎4.有300人参加了一次会议,为了了解这300人参加会议的体会,将这300人随机编号为001,002,003,…,300,用系统抽样方法(等距离)抽出60人,若在编号为006,021,036,041,176,208,286的7个人中有1个没有抽到,则这个编号是( )‎ A.041 B.176 C.208 D.286‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出样本间隔,结合系统抽样的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解:样本间隔为,‎ 由已知数据可知抽到的编号尾号为1,6,‎ 故208不满足条件,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的应用,结合条件求出样本间隔是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎5.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在[20,45](岁)内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图如图,则在这200名市民中年龄在[40,45](岁)内的人数为( )‎ A.15 B.20 C.25 D.30‎ ‎【答案】B ‎【解析】由频率分布直方图先求出年龄在,(岁内的频率,由此能求出在这200名市民中年龄在,(岁内的人数.‎ ‎【详解】‎ 解:由频率分布直方图得:‎ 年龄在,(岁内的频率为:,‎ 在这200名市民中年龄在,(岁内的人数为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法,考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎6.若等差数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(2a﹣1)n2+2an,a6=13,则{an}的公差d=( )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用数列的通项公式和前项和公式的应用求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:等差数列的前项和满足,‎ 所以当时,,‎ 当时,,‎ 所以.‎ 所以,解得.‎ 当时,,‎ 由于,解得.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,等差数列的通项公式和前项和公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图(图中尺寸单位:),则该几何体的体积和表面积分别为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三视图,还原直观图,利用体积计算公式,即可。‎ ‎【详解】‎ 该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一,体积为,表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了三视图还原直观图问题,发挥空间想象能力,结合体积计算公式,即可。‎ ‎8.在半径为2圆形纸板中间,有一个边长为2的正方形孔,现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据面积比的几何概型,即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,边长为2的正方形的孔的面积为,‎ 又由半径为2的圆形纸板的面积为,‎ 根据面积比的几何概型,可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算,以及正方形的面积和圆的面积公式的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数化为十进制数(注:),那么处理框①内可填入( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二进制数化为十进制数,得出,得到运行程序框输出的结果,验证答案,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,二进制数化为十进制数,‎ 即运行程序框输出的结果为21,‎ 经验证可得,处理框内可填入,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二进制与十进制的转化,以及循环结构的程序框图的计算与输出,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎10.曲线C1:y=cosx,曲线C2:y=sin2x,下列说法正确的是( )‎ A.将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到C2‎ B.将C1上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,再将所得曲线向左平移个单位,得到C2‎ C.将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得曲线向右平移个单位,得到C2‎ D.将C1上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,再将所得曲线向右平移个单位,得到C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意利用函数的图象变换规律,得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:曲线,曲线,‎ 对于,将上所有点横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得,再将所得曲线向左平移个单位,得到的函数解析式为,不符题意;‎ 对于,将上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,得 ‎,再将所得曲线向左平移个单位,得到的函数解析式为,不符题意;‎ 对于,将上所有点横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变,得,再将所得曲线向右平移个单位,得到的函数解析式为,不符题意;‎ 对于,将上所有点横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,得,再将所得曲线向右平移个单位,得到的函数解析式为,符合题意;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律,属于基础题.‎ ‎11.已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中,有2条长为1,有4条长为2,则从中任意取出的两条,这两条棱长度相等的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】从中任意取出的两条,基本事件总数,这两条棱长度相等包含的基本事件个数,由此能求出这两条棱长度相等的概率.‎ ‎【详解】‎ 解:三棱锥的6条棱中,有2条长为1,有4条长为2,‎ 从中任意取出的两条,基本事件总数,‎ 这两条棱长度相等包含的基本事件个数,‎ 这两条棱长度相等的概率.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎12.设双曲线1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1‎ 的直线与双曲线交于P,Q两点,且|QF1|﹣|PF1|=3a,0,则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】讨论,的位置,可得在左支上,在右支上,且,,设,由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理,计算可得所求离心率.‎ ‎【详解】‎ 解:若,同在左支上,由,即,可得,不符合题意;‎ 故在左支上,在右支上,且,‎ ‎,设,可得,,,‎ 在直角三角形中,可得,解得,‎ 可得,,‎ 在直角三角形中,可得,‎ 即有,即有.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查直角三角形的勾股定理,化简运算能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.命题“∃x0>0,lnx0>x0”的否定为_____.‎ ‎【答案】∀x>0,lnx≤x ‎【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“,”的否定为:,.‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.‎ ‎14.已知实数x,y满足,则z=4x﹣2y的最大值为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域,设得,利用数形结合即可的得到结论.‎ ‎【详解】‎ 解:作出实数,满足对应的平面区域如图:‎ ‎,则,‎ 平移直线,由图象可知当直线经过点A时,‎ 直线的截距最小,‎ 由,可得 此时最大,.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用,利用的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键,是中档题.‎ ‎15.若椭圆:的焦距为,则椭圆的长轴长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆的性质,列出方程求得的值,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,椭圆的焦距为,‎ 则,解得,所以,‎ 所以椭圆的长轴长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎16.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧棱底面,,,则异面直线与所成角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以分别为轴,以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系,求得向量的坐标,利用向量的夹角公式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,以分别为轴,以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 所以,‎ 设与所成的角为,则,‎ 所以与所成的角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中建立适当的空间直角坐标系,把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角,利用向量的夹角公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17.在中,角的对边分别为,且. ‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式,整理后根据sinB0求出,即可确定出A的度数;‎ ‎(2)利用余弦定理列出关系式,把a,b,cosA的值代入求出c的值,再由b,sinA的值,利用三角形面积公式求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由正弦定理得,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎(2)∵,,,‎ ‎∴,解得或(舍),‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.‎ ‎18.已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若对一切实数都成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)m=﹣2 (2)(﹣∞,0)∪(,+∞)‎ ‎【解析】(1)根据二次函数的性质对进行讨论,即可求解最小值为,可得的值;‎ ‎(2)分离参数,结合基本不等式即可求解;‎ ‎【详解】‎ 解:(1)函数的最小值为.‎ 当时,在上单调递增,没有最小值;‎ 当时,可知时取得最小值;‎ 即,‎ 解得,‎ 故的值为.‎ ‎(2)由对一切实数都成立,即,‎ 可得,‎ ‎(当且仅当时取等号),‎ ‎,‎ 即.‎ 解得:或.‎ 故得实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的单调性和二次函数的最值问题,基本不等式的应用,属于基础题.‎ ‎19.商品的销售价格与销售量密切相关,为更精准地为商品确定最终售价,商家对商品A按以下单价进行试售,得到如下数据:‎ 单价x(元)‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 销量y(件)‎ ‎60‎ ‎58‎ ‎55‎ ‎53‎ ‎49‎ ‎(1)求销量y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)预计今后的销售中,销量与单价服从(1)中的线性回归方程,已知每件商品A的成本是10元,为了获得最大利润,商品A的单价应定为多少元?(结果保留整数)‎ ‎(附:,.(15×60+16×58+17×55+18×53+19×49=4648,152+162+172+182+192=1455)‎ ‎【答案】(1); (2)24元 ‎【解析】(1)由已知求得与的值,则线性回归方程可求;‎ ‎(2)写出获得利润的函数,再由二次函数求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为;‎ ‎(2)由题意,获得的利润.‎ 当时,取最大值.‎ ‎∴单价应定为24元,可获得最大利润.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法,训练了利用二次函数求最值,是中档题.‎ ‎20.如图,四棱锥中,底面是平行四边形,,,且底面.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若二面角为,求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)先由底面,得到,再在平行四边形中,得到,利用线面垂直的判定定理,证得平面,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面平面.‎ ‎(2)由(1)知,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:因为底面,所以,‎ 因为平行四边形中,,所以,‎ 因为,所以平面,‎ 而平面,所以平面平面.‎ ‎(2)由(1)知,平面,‎ 所以即为二面角的平面角,即,‎ 分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 设,则,‎ 则,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,令,得,‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21.已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆C与抛物线E的准线交于M、N两点,△MNF的面积为p,其中F是E的焦点.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)不过原点O的动直线l交该抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB,设点Q为圆C上任意一动点,求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程.‎ ‎【答案】(1)y2=4x (2)y=5x﹣20‎ ‎【解析】(1)求得圆的圆心和半径,抛物线的焦点和准线方程,由三角形的面积公式和圆的弦长公式,计算可得,可得抛物线的方程;‎ ‎(2)不过原点的动直线的方程设为,,联立抛物线方程,运用韦达定理和两直线垂直的条件,解方程可得,即有动直线恒过定点,结合图象可得直线时,到直线的距离最大,求得直线的斜率,可得所求方程.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)圆的圆心,半径为1,‎ 抛物线的准线方程为,,,‎ 由的面积为,可得,即,‎ 可得经过圆心,可得.则抛物线的方程为;‎ ‎(2)不过原点的动直线的方程设为,,‎ 联立抛物线方程,可得,‎ 设,,,,可得,,‎ 由可得,即,即,解得,‎ 则动直线的方程为,恒过定点,‎ 当直线时,到直线的距离最大,‎ 由,可得到直线的距离的最大值为,‎ 此时直线的斜率为,‎ 直线的斜率为5,可得直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和方程、性质,考查直线方程和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简运算能力和数形结合思想,属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆:过点与点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线过定点,且斜率为,若椭圆上存在,两点关于直线对称,为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2),.‎ ‎【解析】(1)把两点的坐标代入椭圆的方程,求得的值,即可求得椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线AB的方程为,联立方程组,由,即,以及根与系数的关系,得到线段AB的中点坐标,代入直线方程方程,求得,再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式,得到的表达式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,可得,解得,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题意,设直线AB的方程为,‎ 由,整理得,‎ 所以,即,……….①‎ 且,‎ 所以线段AB的中点横坐标,纵坐标为,‎ 将代入直线方程,可得 ……… ②,‎ 由①②可得,又,所以,‎ 又,‎ 且原点O到直线AB的距离,‎ 所以 ‎,‎ 所以时,最大值,此时,‎ 所以时,最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎
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