2019-2020学年新疆昌吉市教育共同体高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年新疆昌吉市教育共同体高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年新疆昌吉市教育共同体高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知 , 则下列判断正确的是（ ）‎ A．“或”为真，“”为真 B．“或”为假，“”为真 C．“且”为真，“”为假 D．“且”为假，“”为假 ‎【答案】A ‎【解析】先判断命题P、Q的真假，进而利用“或”、“且”、“非”命题真假的判断方法即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由P：π＜2，可知命题P不正确；由Q：π＞3，可知命题Q正确．‎ 因此A正确，而B、C、D不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握“或”、“且”、“非”命题真假的判断方法是解题的关键．‎ ‎2．命题“若，则”的逆否命题是( )‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：命题“若，则”的逆否命题是若，则．‎ ‎【考点】四种命题的书写．‎ 点评：我们要熟练掌握四种命题的书写，属于基础题型．‎ ‎3．已知：， ：，那么是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】把q中的方程解出x的值，根据解出的x的值分析p与q 的互推情况，从而判断p是q的什么条件．‎ ‎【详解】‎ 解：由可得：或，‎ ‎∴能推出，但推不出，‎ ‎∴是的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件，判断充要条件的方法是：‎ ‎①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．此题是基础题．‎ ‎4．已知抛物线的准线方程是，则其标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线准线方程，可得其开口向右，设方程为y2＝2px（p＞0），结合题意算出p值，即可得到其标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：∵抛物线的准线方程是，‎ ‎∴抛物线的开向右，可设方程为y2＝2px（p＞0）‎ ‎∵，∴p＝1，得2p＝2‎ 因此，得到抛物线的标准方程为：y2＝2x 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出抛物线的准线，求其标准方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况，建立关于k的不等式并解之，即可得到实数k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：∵方程表示双曲线，‎ ‎∴k﹣2与3﹣k的符号一正一负，‎ ‎①当k﹣2＞0且3﹣k＜0时，方程表示焦点在x轴的双曲线，此时k＞3； ‎ ‎②当k﹣2＜0且3﹣k＞0时，方程表示焦点在y轴的双曲线，此时k＜2‎ 综上所述，实数k的取值范围是k＜2或k＞3‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出二次曲线方程表示双曲线，求参数k的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎6．两不重合平面的法向量分别为， ，则这两个平面的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】根据平面的法向量与平面垂直的性质，只要判断法向量的位置关系，可得平面的位置关系．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，两不重合平面的法向量分别为（1，0，﹣1），（﹣2，0，2），‎ 所以，‎ 所以两不重合平面的法向量平行，‎ 所以这两个平面的位置关系是平行；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了法向量的运用；如果不重合的平面的法向量平行，则这两个平面也平行．‎ ‎7．双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据标准方程直接求离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线可知，,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的基本性质，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8．过点的抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用抛物线经过的点，推出a，然后化简抛物线方程为标准方程，求解焦点坐标即可．‎ ‎【详解】‎ 解：点（1，1）在抛物线y＝ax2的图象上，可得a＝1．‎ 抛物线y＝x2的焦点坐标为：（0，）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎9．如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎10．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线的定义判断出动点的轨迹，然后利用双曲线中三各参数的关系求出b，即可写出双曲线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：据双曲线的定义知：P的轨迹是以F1（5，0），‎ F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为8的双曲线．‎ 所以c＝5，a＝4，b2＝c2﹣a2＝9，‎ 所以双曲线的方程为：‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，差的绝对值要小于两定点间的距离是特别需要注意的地方，属基础题．‎ ‎11．在正四面体中，，分别为棱，的中点，连接，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得四面体A﹣BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，‎ 故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．‎ 设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AFCE，KFCE，KEBE，‎ ‎∴AK． ‎ ‎△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，属于中档题．‎ ‎12．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆1的焦点坐标为、。由椭圆的定义得，所以，‎ 因为 ，所以，‎ 所以，‎ 所以。选C。‎ 点睛：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到的关系．‎ ‎(2)对的处理方法：①定义式的平方，即；②余弦定理，即；③面积公式，即。‎ 其中。‎ 二、填空题 ‎13．顶点在原点，对称轴是轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程是_______;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，抛物线的标准方程是x2＝2my，直线3x﹣4y﹣24＝0中，令x＝0可求得抛物线的焦点坐标，从而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，‎ ‎∴抛物线的标准方程为x2＝2my，‎ ‎∵其焦点在直线3x﹣4y﹣24＝0上，‎ ‎∴令x＝0得y＝﹣6，‎ ‎∴焦点F（0，﹣6）．‎ ‎∴m＝﹣12．‎ ‎∴抛物线的标准方程是x2＝﹣24y．‎ 故答案为：x2＝﹣24y．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，确定抛物线的标准方程的类型及其焦点坐标是关键，属于中档题．‎ ‎14．焦点在轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是 ;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为虚轴长为8，所以2b=8，即b=4，因为焦距为10,所以2c=10,即c=5,所以，所以双曲线的标准方程为。‎ ‎【考点】双曲线的标准方程。‎ 点评：直接考查双曲线标准方程的求法，属于基础题型。我们要注意双曲线中的关系和椭圆中的关系的不同。‎ ‎15．直线被曲线截得的弦长为 ; ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：联立，所以弦长为。‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系。‎ 点评：本题主要考查弦长的求法，在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式。‎ ‎16．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则△的面积为________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线的方程，算出焦点F1（，0）、F2（，0）．利用勾股定理算出|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20，由双曲线的定义得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，联解得出|PF1|•|PF2|＝2，即可得到△F1PF2的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：∵双曲线中，a＝2，b＝1‎ ‎∴c，可得F1（，0）、F2（，0）‎ ‎∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20‎ 根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4‎ ‎∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2‎ 因此△F1PF2的面积S|PF1|•|PF2|＝1‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题给出双曲线上的点P对两个焦点的张角为直角，求焦点三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、勾股定理和三角形的面积公式等知识，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题命题若为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出p，q的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由得,‎ 由得,‎ 若为真，则为真命题，为真命题，‎ 即真假，‎ 则，即 即实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18．已知双曲线的一条渐近线为:,且与椭圆有相同的焦点,求双曲线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设双曲线的方程为1，（t≠0），求出椭圆的焦点的坐标，由此分析双曲线中t＜0，且（﹣t）+（﹣4t）＝25，解可得t的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解答：根据题意，双曲线的一条渐近线为:‎ ‎,则设双曲线的方程为 椭圆的焦点为 则双曲线的焦点也为,‎ 则有，‎ 且有，‎ 解可得,‎ 则双曲线的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程．‎ ‎19．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．‎ ‎(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；‎ ‎(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．‎ ‎【答案】（1）8（2）‎ ‎【解析】（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；‎ ‎（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．‎ 又F，所以直线l的方程为y＝．‎ 联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，‎ 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，‎ 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，‎ 所以M到准线的距离为3＋＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.‎ ‎20．已知椭圆的焦点和长轴长.‎ ‎（1）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标.‎ ‎（2）求过点的直线被椭圆所截弦的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）（2），其中 ‎【解析】（1）根据焦点坐标得出椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点坐标得出c的值，再由长轴的值求出a的值，进而利用椭圆的性质求出b的值，确定出椭圆的标准方程，与直线y＝x+2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出两交点A与B的坐标，利用根与系数的关系求出两根之和，即为两交点横坐标之和，利用中点坐标公式即可求出AB中点M的横坐标，代入直线方程可得M的纵坐标，进而确定出线段AB的中点坐标；‎ ‎（2）设过点（0，2）的直线方程的斜率为k，表示出直线方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，设出直线与椭圆的两交点坐标，利用韦达定理表示出两交点横坐标之和，利用中点坐标公式表示出线段AB中点C的横坐标，代入直线方程可得C的纵坐标，消去参数k即可得到所求的轨迹方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中，从而，‎ 所以其标准方程是: ‎ 联立方程组，消去得,‎ 设线段中点为 那么 所以 也就是说线段中点坐标为 ‎（2）设直线方程为 把它代入 整理得: ‎ 要使直线和椭圆有两个不同交点，则，即 设直线与椭圆两个交点为 中点坐标为，则 从参数方程，‎ 消去得：，且 综上，所求轨迹方程为，其中 ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，用到的知识有韦达定理，中点坐标公式，参数方程，以及椭圆的简单性质，解答直线与圆锥曲线的交点问题时，常常联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到一个一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式解决问题，本题第二问是动点的参数方程问题，设出直线的斜率k作为参数来求轨迹方程．‎ ‎21．正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，且AC 与BD 交于点O，E 为棱DD1 中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求证：B1O⊥平面EAC；‎ ‎(Ⅱ)若点F 在EA 上且B1F⊥AE，试求点F 的坐标；‎ ‎(Ⅲ)求二面角B1－EA－C 的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 ‎(Ⅱ)F (0, , )‎ ‎(Ⅲ)二面角B1－EA－C的正弦值为 ‎【解析】证明：(I) 由题设知下列各点的坐标A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2, 2, 0),‎ D (0, 2, 0),E (0, 2, 1),B1(2, 0, 2)．‎ ‎∵O是正方形ABCD的中心，∴O (1, 1, 0)．‎ ‎∴= (－1, 1, －2)，=" (2," 2, 0)，=" (0," 2, 1)．2分 ‎∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)‎ ‎= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．‎ ‎·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)‎ ‎= －1·0 + 1·2－2·1 = 0． ‎ ‎∴⊥，⊥， ‎ 即B1O ⊥AC，B1O⊥AE，‎ ‎∴B1O⊥平面ACE． 4分 ‎(II) 由F点在AE上，可设点F的坐标为F (0, 2l,l)， 5分 则= (－2, 2l,l－2)． 6分 ‎∵⊥，‎ ‎∴·= (－2, 2l,l－2)·(0, 2, 1) = 5l－2 = 0， 7分 ‎∴l= ,‎ ‎∴F (0, , )． 8分 ‎(III) ∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．‎ ‎∴∠OFB1即为二面角B1－EA－C的平面角． 9分 ‎∴ || = = ． 10分 又= (－2, ,－)，‎ ‎∴ | | = = ． 11分 在Rt△B1OF中，sin∠B1FO= = ．‎ 故二面角B1－EA－C的正弦值为． 12分 ‎22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）正方形中，侧棱底面，以为轴建立坐标系，求出，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，则 为平面的法向量，结合（Ⅱ），由空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为底面底面 ，‎ 所以，正方形中, ，‎ 又因为， 所以平面，‎ 因为平面，所以． ‎ ‎（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.‎ 如图建立空间直角坐标系，不妨设.‎ 依题意，则，所以 .‎ 设平面的法向量， ‎ 因为，所以，‎ 令，得 ，即， ‎ 所以， ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ； ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以 为平面的法向量，‎ 因为， 且二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为 ． ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎