2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二上学期第一次统考数学(理)试题 Word版

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2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二上学期第一次统考数学(理)试题 Word版

舒城中学 2018-2019 学年度第一学期第一次统考 高二理数 命题: 审题: (总分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。) 1. 设集合 A={x|-10 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是 ( ) A.-n1)的图象的基本形状是 ( ) 5. 已知 f (x)满足 ∀ x∈R,f (-x)+f (x)=0,且当 x≤0 时,f(x)=1 ex+k (k 为常数),则 f (ln 5)的值为 ( ) A.4 B.-4 C.6 D.-6 6. 设 a>0,b>1,若 a+b=2 ,则 + 的最小值为 ( ) A.2 B.8 C.4 D.4+2 7. 在直角坐标系中,P 点的坐标为 3 5 ,4 5 ,Q 是第三象限内一点,|OQ|=1 且∠POQ=3π 4 ,则 Q 点的横坐标为 ( ) A.-7 2 10 B.-3 2 5 C.-7 2 12 D.-8 2 13 8. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面α与棱 AB,AC,A1C1,A1B1 分别交于点 E,F,G,H,且 直线 AA1∥平面α.有下列三个命题:①四边形 EFGH 是平行四边形;②平面α∥平面 BCC1B1; ③平面α⊥平面 BCFE.其中正确的命题有 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.9+ 3 6 π B.6+ 3 6 π C.3+ 3 6 π D.12+ 3 6 π 10. 如果实数 x,y 满足约束条件 2x+y-4≤0, x-y-1≤0, x≥1, 则 z=3x+2y+y x 的最大值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.11 11. 已知非零向量 ,a b   满足 4, 2a b   ,且 a  在 b  方向上的投影与 b  在 a  方向上的投影相 等,则 a b  等于 ( ) A.1 B. 2 5 C. 5 D. 3 12. 已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数,f (x+1)为奇函数,f (0)=0,当 x∈(0,1]时,f (x) =log2x,则在区间(8,9)内满足方程 f (x)+2=f 1 2 的实数 x 为 ( ) A.17 2 B.67 8 C.33 4 D.65 8 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 不等式的解是 14. 等比数列{ na }的公比 0q  , 已知 2a =1, 2 1 6n n na a a   ,则{ na }的前 4 项和 4S 为 15. 若,则 的最小值是 16. 已知四面体 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB⊥平面 ABC,AB⊥AC,且 AC=2 2, PB=AB=2,则球 O 的表面积为 三.解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分) (1) (2) 设 f(α)= 2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) 1+sin2α+cos 3π 2 +α -sin2 π 2 +α ( 2 1sin  ),求 f -23π 6 18. (本小题 12 分)] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csinB= 3 bcosC,a2-c2=2b2 (1)求 C 的大小; (2)若△ABC 的面积为 21 3 ,求 b 的值. 19. (本小题 12 分) 已知函数 f(x)=2asin ωxcos ωx+2bcos2ωx-b(a、b、ω>0),在 x= π 12 时取得最大值 2 .若 x1, x2 是集合 M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为π 2 . (1)求 a、b 的值; (2)若 f(α)=2 3 ,求 sin 5π 6 -4α 的值. 20. (本小题 12 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为 BC 中 点. (1)证明:SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 A-SC-B 的余弦值. 21. (本小题 12 分) 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an,(n=1,2,3,…) (1)求证:数列{an-1}是等比数列; (2)令 bn= )1)(-2 nan( (n=1,2,3…),如果对任意 n∈N*,都有 2 4 1 ttbn  ,求实数 t 的取值范围. 22. (本小题 12 分) 某厂家拟在 2016 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与 年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能 是 1 万件.已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产一万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入 和再投入两部分资金). (1)将 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2016 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 高二理数自主训练(1)参考答案 一.单选题 1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D 二.填空题 13. 14. 15. 16. 16π 三.解答题 17.(1) (2)∵f(α)= (-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin2α+sin α-cos2α =2sin αcos α+cos α2sin2α+sin α = cos α(1+2sin α) sin α(1+2sin α) = 1tan α, ∴ f 23π6 =23π6 =π6=π6=. 18.解:(1)∵由已知及正弦定理可得,sinCsinB= sinBcosC, ∵sinB≠0, ∴tanC= , ∴ C= . …(5 分) (2) 由(Ⅰ)可得,cosC= = , ∴a2+b2-c2=ab, 又∵a2-c2=2b2, ∴a=3b, ∴由题意可知,S △ ABC= absinC= b2=21 , ∴b2=28,可得: b=2 . …(12 分) 19. 解:(1)f(x)=asin 2ωx+bcos 2ωx=Asin(2ωx+φ),[] 中 A=,sin φ= ba2+b2,cos φ= aa2+b2. 由题意知:f(x)的周期为π,A=2,由 2π2ω=π,知ω=1. ∴f(x)=2sin(2x+φ). ∵f π12=2,∴sin π+φ=1,从而π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π3+2kπ(k∈Z), ∴f(x)=2sin π3=sin 2x+cos2x,从而 a=1,b=. (2) 由 f(α)=23知 2sin π3=23,即 sin π3=13. ∴sin 5π-4α=sin 2π3 =-cos 2π3 =-1+2sin2π3=-1+2×132=-79. 20. (1) 证明:由题设 AB=AC=SB=SC=SA.如图所示,连结 OA △ABC 为等腰直角三角形,所以 OA=OB=OC=22SA,且 AO⊥BC. 又△SBC 为等腰三角形,故 SO⊥BC,且 SO=22SA, 从而 OA2+SO2=SA2,SO⊥AO.又 AO∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC. (2) 解:如图所示,取 SC 中点 M, 连结 AM、OM,由(1)知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. ∴∠OMA 为二面角 A-SC-B 的平面角. 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得 AO⊥平面 SBC,所以 AO⊥OM, 又 AM=32SA,故 sin ∠AMO=AOAM=23=63,∴cos ∠AMO=33 所以二面角 A-SC-B 的余弦值为33. 21.解:(1)由题可知 : a1+a2+a3++an-1+an=n-an ① a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1 ② ②-① 可得 2an+1-an=1 .(5 分) 即: ,又 .(7 分) 所以数列{an-1}是以 为首项,以 为公比的等比数列(5 分) (2)由(I)可得 ,(9 分) (7 分) 由 可得 n<3 由 bn+1-bn <0 可得 n>3(11 分) 所以 b1<b2<b3=b4>b5>…>bn> .. 故{bn}有最大值 所以,对任意 n∈N* ,有 (10 分) 如果对任意 n∈N*,都有 ,即 成立, 则 ,故有: ,(11 分) 解得 或 所以,实数 t 的取值范围是 (12 分) 22. 解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1,∴1=3-k ⇒ k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为 1.5 ×(元), ∴2016 年的利润 y = 1.5x×-8-16x-m = -+29(m≥0). (2)∵m≥0 时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即 m=3 时,取等号, ∴y≤-8+29=21, 故该厂家 2016 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大.
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