2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先分别化简集合和集合，再求并集即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，.‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次不等式的解法，同时考查了对数函数的定义域和并集的运算，属于简单题.‎ ‎2．设命题，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用全称命题的否定是变量词，否结论即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题的否定为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 主要考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题是解题的关键，属于简单题.‎ ‎3．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（ ）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎16‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ A．14.1 B．14.5 C．15.3 D．16.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先求出，，因为回归直线方程为过点，代入即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题知，.‎ 因为回归直线方程为过点，‎ 所以，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归直线方程，线性回归直线恒过点为解题关键，属于简单题.‎ ‎4．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】首先分别解不等式和，再根据充分、必要条件的判断即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题知：，解得.‎ 因为等价于.‎ ‎，解得.‎ 所以“”是“”的充要条件.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分、必要条件的判断，同时考查了绝对值不等式的解法，属于简单题.‎ ‎5．在区间上随机取两个数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得事件的全部结果满足，构成的区域为图中的边长为4的正方形ABCD,它的面积为16. 事件A满足的条件为，构成的区域为图中的三角形EFC，‎ 它的面积为.‎ 所以,故选A.‎ ‎6．执行下边的程序框图，那么输出的A的值为（ ）‎ A．7 B．15 C．31 D．63‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可知：初始值，，执行循环体后，当，，不满足，停止循环，输出值为.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知：初始值，.‎ 执行循环体后，，满足，‎ 再次执行循环体后，，满足，‎ 再次执行循环体后，，满足，‎ 再次执行循环体后，，满足，‎ 再次执行循环体后，，不满足，故输出.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图和循环结构，解决问题的关键是读懂框图然后列出循环结果，属于简单题.‎ ‎7．已知不重合的直线a,b和平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据线面平行的判定和性质可知，，是错误的，根据线面垂直的判定可知正确.‎ ‎【详解】‎ 因为，，得到与的位置关系是平行或异面，所以错误.‎ 因为，，得到与的位置关系是平行，异面或相交，所以错误.‎ 因为，得到或，所以错误.‎ 若，，则为线面垂直的判定.故正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定及性质，同时考查了线面垂直的判定，属于简单题.‎ ‎8．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据f（2x﹣1）的定义域即可求出f（x）的定义域为（﹣1，1），从而得出函数f（1﹣3x）需满足﹣1＜1﹣3x＜1，解出x的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（2x﹣1）的定义域为（0，1），‎ ‎∴0＜x＜1，‎ ‎∴﹣1＜2x﹣1＜1，‎ ‎∴f（x）的定义域为（﹣1，1），‎ ‎∴f（1﹣3x）需满足﹣1＜1﹣3x＜1，解得，‎ ‎∴f（1﹣3x）的定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数定义域的定义及求法，已知f[g（x）]的定义域求f（x）的定义域的方法，以及已知f（x）的定义域求f[g（x）]的定义域的方法．‎ ‎9．函数在上是增函数，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知，对进行分类讨论，使满足在上是增函数，列出不等式组，解不等式组即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，满足题意.‎ 当时，在上是增函数，满足，解得：.‎ 当时，在上是增函数，满足，解得：.‎ 综上所述：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的单调性，分类讨论为解题的关键，属于中档题.‎ ‎10．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（ ）‎ A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.‎ ‎11．已知函数，若且，则n-m的最小值为( )‎ A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：作出函数的图象如下，‎ ‎，且，可得，‎ ‎，即为，‎ 可得，，‎ ‎，‎ 令，则 当时，，递减；‎ 当时，，递增．‎ 则在处取得极小值，也为最小值，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知点P在离心率为2的双曲线的左支上，，F是双曲线的右焦点，若周长的最小值是20，则此时的面积为（ ）‎ A． B． C． D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先由双曲线的定义可知周长的最小值等于，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线与双曲线联立即可求出点的坐标，最后利用即可求出的面积.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的左焦点为，由题知：‎ ‎，.‎ 周长.‎ 当且仅当，，三点共线时取等号.‎ 所以.‎ 所以，解得，‎ 双曲线方程为.‎ ‎，：.‎ 解得，代入，得 所以的坐标为.‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的性质，同时考查了直线与双曲线的位置关系，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．函数，若，则x的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论和两种情况分别计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，由得舍去；‎ 当时，由得或（舍去）.‎ 综上所述：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值的计算，分类计算是常用的方法，需要熟练掌握.‎ ‎14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_________．‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ ‎【答案】01‎ ‎【解析】试题分析：选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01‎ ‎【考点】随机数表 ‎15．甲，乙，丙，丁四名同学参加某次过关考试，甲，乙，丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关.乙说：我们四人中至多两人不过关.丙说：甲，乙，丁恰好有一个人过关.给出四个结论：①甲过关；②乙过关：③丙过关；④丁过关.假设他们说的都是真的，则上述结论中正确的序号是___________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】首先根据甲、乙说的得到：四个人中，两个人过关，两个人不过关.根据丙说的得到：丙一定过关，又根据甲说的得到乙丁不过关，故甲丙过关.‎ ‎【详解】‎ 根据甲说：我们四个人中至少两人不过关，‎ 得到甲看到的三个人中有两人不过关，一人过关.‎ 根据乙说：我们四人中至多两人不过关，‎ 得到乙看到的三个人中有两人过关，一人不过关.‎ 根据甲，乙的说法得到四个人中，两个人过关，两个人不过关.‎ 根据丙说：甲，乙，丁恰好有一个人过关，‎ 得到丙一定过关， ‎ 根据甲在不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关，‎ 可知乙，丙，丁中有两个人不过关，‎ 故乙，丁不过关，甲，丙过关.‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查合情推理，理解题意为解题的关键，属于中档题.‎ ‎16．点M是棱长为4的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上的点，且满足，若，则动点M的轨迹的长度为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形，根据线面垂直的判定和性质可知：动点的轨迹为过与平面垂直的平面与球相交截得的圆.再求出圆的半径即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题知：要有，只需考虑在平面上的射影.‎ 由平面几何知识知，为上靠近点的四等分点处，如图所示.‎ 此时，动点的轨迹为过与平面垂直的平面与球相交截得的圆.‎ 球心到此圆的距离为到的距离.‎ 因为，，，.‎ 所以，.‎ 因为.‎ 所以.‎ 截面圆的半径，周长.‎ 故动点的轨迹的长度为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间动点的轨迹问题，同时考查了线面垂直的判定和性质及球体的性质，弄清动点的轨迹是解题的关键，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．设函数 ‎（1）解不等式.‎ ‎（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.‎ ‎（2）首先将在R上恒成立，等价于，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，，‎ 综上所述：.‎ ‎（2）在R上恒成立，‎ 等价于即可.‎ 因为，‎ 所以，所以，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式，属于中档题.‎ ‎18．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，1为半径.‎ ‎（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.‎ ‎（2）设直线l与圆C相交于AB两点，求.‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为； （2）.‎ ‎【解析】（1）首先根据直线的点和倾斜角即可求出直线的参数方程，再根据圆的圆心坐标及半径可求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的参数方程为（为参数），‎ ‎∵M的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴圆的极坐标方程为；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 化简得：，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，第二问考查了直线的参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎19．2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国国家主席习近平出席会议.“一带一路”旨在借用古代丝绸之路的历史符号，高举和平发展的旗帜，积极发展与沿线国家的经济合作伙伴关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体.某事业单位共有职工600人，现按照分层抽样抽取60人参加全市“一带一路”知识竞赛.其年龄与人数分布表如下.‎ 年龄段（单位：岁）‎ 人数（单位：人）‎ ‎220‎ ‎180‎ ‎140‎ ‎60‎ 约定：此单位45岁-59岁为中年人，其余为青年人.‎ ‎（1）若所抽取出的青年职工与中年职工中分别有24人和6人在“一带一路”知识竞赛中获奖，完成如下列联表，并回答能否有的把握认为获奖与年龄层有关？‎ 知识竞赛中获奖 知识竞赛中没获奖 总计 青年 ‎24‎ 中年 ‎6‎ 总计 ‎60‎ ‎（2）据了解，获奖的中年职工全部都下载了学习强国APP，并且每天坚持学习，其中有四人的积分超过了5000分.若从中随机抽取2名观众，则抽出的2人积分都超过5000分的概率是多少？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，其中 ‎【答案】(1)见解析，没有的把握认为获奖与年龄层有关. (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意列出列联表，再带入公式求出，即可判定没有的把握认为获奖与年龄层有关.‎ ‎（2）首先列出从个人选个人的全部基本事件，再找到这个人的积分都超过分的基本事件个数，利用古典概型公式即可求出概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 知识竞赛中获奖 知识竞赛中没获奖 总计 青年 ‎24‎ ‎16‎ ‎40‎ 中年 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 所以没有的把握认为获奖与年龄层有关.‎ ‎（2）获奖的中年职工有人，记积分超过分的四人为，‎ 其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，.‎ 抽出的人积分都超过分的有6种情况，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查列联表和独立性检验，第二问考查古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎20．如图，四棱锥，平面平面ABE，四边形ABCD为矩形,，F为CE上的点，且平面ACE.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设M在线段DE上，且满足，试在线段AB上确定一点N，使得平面BCE，并求MN的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点. ‎ ‎【解析】（1）首先根据平面与平面垂直的性质定理得到平面，‎ ‎.根据平面得到.因为，得到平面，从而得到.‎ ‎（2）根据所做的辅助线得到：平面和平面，从而得到平面平面，利用面面平行的性质得到平面，点为线段上靠近点的一个三等分点，再计算长度即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵四边形为矩形，.‎ ‎∵平面与平面，平面与平面，且平面，平面.‎ 又平面，.‎ 平面，平面..‎ 又，平面，平面，；‎ ‎（2）在中过点作交于点，‎ 在中过点作交于点，连，‎ ‎，，.‎ ‎， 平面，面，平面，‎ 同理可证，平面，‎ ‎，∴平面平面，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴点为线段上靠近点的一个三等分点.‎ ‎，，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了线线垂直的证明，第二问考查了线面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题.‎ ‎21．如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点在线段PQ上.设，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的离心率和直线与圆相切得到，解方程组即可.‎ ‎（2）设，，，当直线与轴重合时，求出.当直线与轴不重合时，设直线方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理化简，求出的表达式，再求出的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知：，解得，.‎ 椭圆；‎ ‎（2）设，，.‎ 当直线与轴重合时，则，‎ 解得：，.‎ 当直线与轴不重合时，则，‎ 解得：.‎ 设直线方程为，与椭圆方程联立消去得：‎ ‎.‎ 由韦达定理得，.‎ 于是有：，‎ 因此.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查椭圆的性质和直线与圆的位置关系，第二问考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）首先求出，再令，解得，，比较与，的大小关系即可求出函数的单调区间.‎ ‎（2）首先根据有两个极值得到且，再求出的解析式，证明恒小于即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），且函数的定义域为.‎ 令，得，.‎ ‎①当，即时，‎ ‎，，为减函数；，，为增函数.‎ ‎②当，即时，‎ ‎，，为增函数；，，为减函数；‎ ‎，，为增函数；‎ ‎③若，即时，，在为增函数；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，，为增函数；，，为减函数；‎ ‎，，为增函数.‎ 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；‎ 当时，函数的增区间为和，减区间为；‎ 当时，函数的增区间为，无减区间；‎ 当时，函数的增区间为和，减区间为；‎ ‎（2）由（1）知当且时，有两个极值点、.‎ ‎.‎ ‎.‎ 换元令，设，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，.‎ 恒成立，‎ 恒成立 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查含参单调区间，第二问考查利用导数求函数的最值，同时考查了学生的计算能力，属于难题.‎