2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A={x|＜2}，B={x|log2x＞0}，则（　　）‎ A． B．A∩B=‎ C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先分别求出集合A和B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由2-x＜2得x＞-1，所以A={x|x＞-1}；由log2x＞0得x＞1，所以B={x|x＞1}．所以A∩B={x|x＞1}．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集的求法及应用，考查指数对数不等式的解法，是基础题．‎ ‎2．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若 和 都是单位向量，则=‎ D．两个相等向量的模相等 ‎【答案】D ‎【解析】考查所给的四个选项：‎ 向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；‎ 向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；‎ 若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；‎ 两个相等向量的模一定相等，D说法正确.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3．计算2sin2105°-1的结果等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．选D．‎ ‎4．函数f（x）=x-的图象关于（　　）‎ A．y轴对称 B．原点对称 C．直线对称 D．直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x)，由奇函数的定义即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x),所以函数f（x）为奇函数，所以图象关于原点对称，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的对称性，根据函数解析式特点得出f（-x）=-f(x)即可得出函数为奇函数，属于基础题.‎ ‎5．若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的奇偶性，即可得出φ的值．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；所以φ的值可以是.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．‎ ‎6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴−−=3(−−)；‎ ‎∴=−−.‎ 故选：C.‎ ‎7．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以；‎ 因为，，所以，‎ 所以．选C．‎ ‎8．若 ，且 则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，设与的夹角为，，则，故选C．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角 ‎9．将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求解函数y的最小正周期，根据三角函数的平移变换规律，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数y=2sin（2x+）其周期T=π，图象向左平移个最小正周期后，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x++）=2cos（2x+）故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了最小正周期的求法和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎10．若＜α＜π，化简的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎= 因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力．‎ ‎11．的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由于 ‎，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题．‎ ‎12．设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．‎ B．点是函数的一个对称中心 C．在上是增函数 D．存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点 ‎【答案】D ‎【解析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=asinx+bcosx= 周期T=2π． 由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．函数f（x）=log2（x2-5），则f（3）=______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用对数性质及运算法则直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=log2（x2-5），∴f（3）=log2（9-5）=log24=2． 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14．已知平面向量，的夹角为，，则 =______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=代入各量进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎=,故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.‎ ‎15．函数y=1-sin2x-2sinx的值域是______ ．‎ ‎【答案】[-2，2]‎ ‎【解析】利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）的值域，属于基础题．‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinx∈[-1，1]，∴函数y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为-4+2=-2，当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为：[-2，2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．‎ ‎16．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=‎ ‎，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．‎ ‎【答案】[-，-）∪（，]‎ ‎【解析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：‎ ‎∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知.‎ 故答案为[-，-）∪（，].‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知向量=（3，4），=（-1，2）．‎ ‎（1）求向量与夹角的余弦值；‎ ‎（2）若向量-与+2平行，求λ的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）-2.‎ ‎【解析】（1）利用平面向量的数量积公式求出夹角的余弦值；（2）根据向量平行的坐标关系得到λ的方程，求值．‎ ‎【详解】‎ 向量=（3，4），=（-1，2）‎ ‎（1）向量与夹角的余弦值；‎ ‎（2）向量-=（3+λ，4-2λ）与+2=（1，8）平行，则8（3+λ）=4-2λ，解得λ=-2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积公式的运用以及向量平行的坐标关系,属于基础题．‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案。‎ ‎（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案。‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎．‎ ‎【考点】（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用 ‎19．已知向量=（cosx，-1），=（sinx，cos2x），设函数f（x）= +．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）；，（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式，可得，然后由周期公式去求周期，再结合正弦函数的单调性去求函数的单调递增区间．（2）由（1）知，由求出，再结合正弦函数的单调性去求函数的值域．‎ 试题解析：（1）依题意得 的最小正周期是：‎ 由解得，‎ 从而可得函数的单调递增区间是：‎ ‎（2）由，可得 从而可得函数的值域是：‎ ‎【考点】（1）向量数量积的坐标运算及辅助角公式；（2）正弦函数的单调性及值域．‎ ‎20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ） （x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示，‎ ‎（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由图象可知A="2,"=－=, ∴T=2,ω==π 将点(, 2)代入y=2sin(πx＋j), 得 sin(＋j)="1," 又|j| <‎ 所以j =. 故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋) (x∈R)‎ ‎（Ⅱ）∵f() =, ∴2sin(＋) =, 即, sin(＋) =‎ ‎∴cos(－a)=cos[π－2(＋)] =－cos2(＋)=2sin2(＋)－1 =‎ ‎【考点】由y= A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ 点评：本题考查由y="A" sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用，考查分析与计算的能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数​​‎ ‎（1）试判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）.‎ ‎【解析】化简函数f（x）=log3（2-sinx）-log3（2+sinx）（1）利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；（2）把分子分离常数，根据-1≤sinx≤1，求出函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 的定义域为，则对中的任意都有 ‎,‎ 所以为上的奇函数； ‎ ‎（2）令，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎  即值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数函数的值域与最值，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．‎ ‎（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；‎ ‎（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】试题分析 ：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示；‎ 对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 因为，所以，其中， ‎ 即，． ‎ ‎（2）由（1）知，当时，， ‎ 又在区间上单调递增，‎ 所以，从而， ‎ 要使不等式在区间上恒成立，只要， ‎ 解得：． ‎ 点晴:本题考查的是求函数的解析式及不等式恒成立问题. （1）首先，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式.‎