2020届二轮复习离散型随机变量的均值学案（全国通用）

2020届二轮复习离散型随机变量的均值学案（全国通用）

‎　离散型随机变量的均值 学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题.‎ 知识点一　离散型随机变量的均值或数学期望 设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.‎ 思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？‎ 答案　X＝5,6,7.‎ 思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？‎ 答案　P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝.‎ 思考3　每个西瓜的平均重量如何求？‎ 答案　＝5×＋6×＋7×.‎ ‎1.离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎2.均值的性质：‎ 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，‎ ‎①Y也是随机变量；‎ ‎②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ 知识点二　两点分布、二项分布的均值 ‎1.两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.‎ ‎2.二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.‎ 类型一　离散型随机变量的均值公式与性质的简单应用 例1　已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3.‎ ξ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b ‎(1)求b；‎ ‎(2)求a；‎ ‎(3)若η＝2ξ－3，求E(η).‎ 解　(1)由随机变量的分布列的性质，得 ‎0.5＋0.1＋b＝1，‎ 解得：b＝0.4.‎ ‎(2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.‎ 解得：a＝7.‎ ‎(3)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 得：E(η)＝E(2η－3)＝2E(η)－3＝2×6.3－3＝9.6‎ 反思与感悟　离散型随机变量均值的公式与性质的计算往往与分布列性质，结合起来考虑.‎ 跟踪训练1　已知随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值.‎ 解　E(X)＝1×＋2×＋3×＝，‎ ‎∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，‎ ‎∴a＝－3.‎ 类型二　两点分布及二项分布的均值 例2　某人投篮命中的概率为P＝0.4.‎ ‎(1)求投篮一次，命中次数X的均值；‎ ‎(2)求重复10次投篮时命中次数Y的数学期望.‎ 解　(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ 则E(X)＝0.4.‎ ‎(2)由题意知，重复10次投篮，命中次数Y服从二项分布即Y～B(10,0.6)‎ E(Y)＝np＝10×0.4＝4.‎ 反思与感悟　1.常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 ‎(1)两点分布E(X)＝p；‎ ‎(2)二项分布E(X)＝np.‎ 熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度.‎ ‎2.两点分布与二项分布辨析 ‎(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.‎ ‎(2)不同点：‎ ‎①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.‎ ‎②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.‎ 跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.‎ ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎(2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值.‎ 解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.‎ ‎(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.‎ 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.‎ ‎(2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 ‎(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.‎ ‎∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.‎ 所以X的均值是20人.‎ 类型三　超几何分布的均值 例3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ).‎ 解　p＝，∴＝，∴n＝5，∴5个球中有2个白球.‎ 方法一　白球的个数ξ可取0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.‎ 方法二　取到白球个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝＝＝.‎ 反思与感悟　1.超几何分布模型 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.‎ ‎2.超几何分布均值的计算公式 若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，即X～H(n，M，N)，则E(X)＝.‎ 跟踪训练3　设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X).‎ 解　方法一　P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 方法二　由题意可知，X服从N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布.‎ ‎∴E(X)＝＝＝.‎ ‎1.若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　E(X)＝np＝4×＝.‎ ‎2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知E(ξ)＝8.9，则y＝________.‎ 答案　0.4‎ 解析　由题意知，‎ 解得：y＝0.4，x＝0.2.‎ ‎3.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为________.‎ 答案　3.5‎ 解析　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.‎ ‎4.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.‎ ‎(1)求ξ的分布列、均值；‎ ‎(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值.‎ 解　(1)ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ξ的均值：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，‎ 则a×＋4＝1，∴a＝－2.‎ ‎1.求离散型随机变量均值的步骤：‎ ‎(1)确定离散型随机变量X的取值；‎ ‎(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；‎ ‎(3)根据公式写出均值.‎ ‎2.若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.‎ 一、选择题 ‎1.若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)‎ A.2×0.44 B.2×0.45‎ C.3×0.44 D.3×0.64‎ 答案　C 解析　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，‎ 故有0.6n＝3，解得n＝5，‎ P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.‎ ‎2.设ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，‎ E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.‎ ‎3.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)‎ A.20 B.25 C.30 D.40‎ 答案　B 解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～，故E(X)＝80×＝25.‎ ‎4.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)‎ A.0.765 B.1.75‎ C.1.765 D.0.22‎ 答案　B 解析　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；‎ P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；‎ P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.‎ ‎∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.‎ ‎5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，‎ 则P(ξ＝1)＝，‎ P(ξ＝2)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝××＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，‎ ‎∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝.‎ 二、填空题 ‎7.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________.‎ 答案　48‎ 解析　设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，‎ 则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，‎ E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.‎ ‎8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ＝x)‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.‎ 答案　2‎ 解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，‎ ‎∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.‎ ‎9.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均________分.‎ 答案　1.5‎ 解析　用X表示所得分数，则X也是取得红球数，X服从超几何分布，于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.‎ ‎10.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.‎ 答案　 解析　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，‎ P(X＝1)＝×2＋×2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 三、解答题 ‎11.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现有无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.‎ 解　X可取的值为1,2,3，‎ 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝××1＝.‎ 抽取次数X的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5.‎ ‎12.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分，学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.‎ 解　设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20,0.9)，X2～B(20,0.25)，所以E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是：‎ E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，‎ E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25.‎ ‎13.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解　(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎