数学文卷·2018届广西陆川县中学高三开学考试(2018

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数学文卷·2018届广西陆川县中学高三开学考试(2018

广西陆川县中学2018年春季期高三开学基础知识竞赛 文科数学试题 ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1. 已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若复数的实部和虚部互为相反数,那么实数等于( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎3. 已知平面向量,若与垂直,则( )‎ A. B.1 C.D.2‎ ‎4.已知实数满足约束条件,则的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5.已知数列的通项公式是,前项和为,则数列的前11项和为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.向量,,且∥,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于 ‎ (A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)‎ ‎8.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何? ”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为步和步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎9.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是三棱锥的三视图,则此三棱锥的体积是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎10.已知双曲线()的一条渐近线被圆截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11.是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12.设函数,其中,,存在使得 成立,则实数的值是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分; ‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于______‎ ‎14.若满足条件的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为________ ‎ ‎15.已知P为圆C:上任一点,Q为直线上任一点,‎ 则 的最小值为_________‎ ‎16.等比数列满足:,成等比数列,若唯一,则的值等于_______‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知内接于单位圆,角且的对边分别为,且 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)若求的面积.‎ ‎18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:‎ ‎(1)求出表中,及图中的值;‎ ‎(2)若该校高三学生有240人,试估计高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数;‎ ‎(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.‎ ‎19. 如图,在四棱锥中,已知,,底面,且,,为的中点,在上,且.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点,离心率为,右焦点到直线的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆下顶点为,直线()与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围.‎ ‎21. 已知.(1)若函数的图象在点处的切线平行于直线,求的值;‎ ‎(2)讨论函数在定义域上的单调性;‎ ‎(3)若函数在上的最小值为,求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的普通方程和的倾斜角;‎ ‎(2)设点和交于两点,求.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式/的解集;‎ ‎(2)设,证明:.‎ 参考答案(文科)‎ 一、1 C2. A 3. B 4.B 5.D 6.C7.B 8.D 9.A 10.D 11.A 12.A 二、13. 4 14. -1 15. 16. ‎ ‎17.解:‎ ‎(1)‎ 又 …………4分 所以,即 …………6分 ‎(2)由(1)知,‎ ‎, …………8分 由,得 因此 …………12分 ‎18.【答案】‎ ‎(1)由分组内的频数是10,频率是0.25知,,‎ 所以.‎ 因为频数之和为40,所以,.‎ ‎,因为是对应分组的频率与组距的商,所以 ‎.‎ ‎(2)因为该校高三学生有240人,分组内的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为60人.‎ ‎(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人,设在区间 内的人为,在区间内的人为,则任选2人共有,,,,,,,,,,,,,,15种情况,而两人都在内只能是一种,所以所求概率为.‎ ‎19.【答案】‎ ‎(1)证明:∵ 底面,底面,故;‎ 又,,因此平面,又平面,‎ 因此平面平面.‎ ‎(2)证明:取的中点,连接,则,且,又,故.又,,,又.‎ ‎∴,,且,故四边形为平行四边形,‎ ‎∴,又平面,平面,故平面.‎ ‎(3)解:由底面,∴的长就是三棱锥的高,.‎ 又,‎ 故.‎ ‎20.【答案】‎ ‎(1)设椭圆的右焦点为,依题意有 又,得,又,∴‎ ‎∴,∴椭圆的方程.‎ ‎(2)椭圆下顶点为,由消去,得 ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点 ‎∴,即 设,,则,‎ ‎∴‎ ‎∴中点坐标为 ‎∵,∴,∴,即,得 把代入,‎ 得,解得,∴的取值范围是.‎ ‎21.【答案】‎ ‎(1)‎ 由题意可知,故.‎ ‎(2)‎ 当时,因为,∴,故在为增函数;‎ 当时,由,得;由,得,‎ 所以增区间为,减区间为,‎ 综上所述,当时,在为增函数;当时,的减区间为,增区间为.‎ ‎(3)由(2)可知,当时,函数在上单调递增,‎ 故有,所以不合题意,舍去.‎ 当时,的减区间为,增区间为.‎ 若,即,则函数在上单调递减,‎ 则,∴不合题意,舍去.‎ 若,即时,函数在上单调递增.‎ ‎,所以不合题意,舍去.‎ 若,即时,,‎ 解得,综上所述,‎ ‎22.解:(1)由消去参数,得 即的普通方程为 由,得①‎ 将代入①得 所以直线的斜率角为.‎ ‎(2)由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数)‎ 即(为参数),‎ 代入并化简得 设两点对应的参数分别为.‎ 则,所以 所以.‎ ‎23.(1)解:①当时,原不等式化为解得;‎ ‎②当时,原不等式化为解得,此时不等式无解;‎ ‎③当时,原不等式化为解.‎ 综上,或 ‎(2)证明,因为.‎ 所以要证,只需证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,即证,‎ 因为,所以,所以,‎ 所以成立.‎ 所以原不等式成立.‎
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