2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.‎ ‎(对应学生用书第169页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,…,在第n类办法中有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称加法原理)‎ ‎2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,…,做第n步有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.‎ ‎3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法的种类.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(  )‎ ‎(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(  )‎ ‎(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(  )‎ ‎(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有(  )‎ A.30  B.20   C.10   D.6‎ D [从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.]‎ ‎3.书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3层放有6本不同的体育书.从第1,2,3层分别各取1本书,则不同的取法种数为(  )‎ A.3 B.15‎ C.21 D.120‎ D [由分步乘法计数原理知,从第1,2,3层各取1本书,不同的取法种数为4×5×6=120.故选D.]‎ ‎4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有(  )‎ A.30个 B.42个 ‎ C.36个 D.35个 C [∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,‎ 由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.]‎ ‎5.如图1011,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路;从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线.‎ 图1011‎ ‎32 [不同路线共有3×4+4×5=32(条).]‎ ‎(对应学生用书第169页)‎ 分类加法计数原理 ‎ (1)某位同学逛书店,发现有三本喜欢的书,决定至少买其中一本,则购买的方案有________种.‎ ‎(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为________.‎ ‎(1)7 (2)13 ‎ ‎[(1)至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本,故分三类完成.第一类:买一本有3种;第二类:买两本有3种;第三类:买三本有1种.共有3+3+1=7(种)买法.‎ ‎(2)①当a=0时,有x=-,b=-1,0,1,2,有4种可能;‎ ‎②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,‎ ‎(ⅰ)当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;‎ ‎(ⅱ)当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;‎ ‎(ⅲ)当a=2时,b=-1,0,有2种可能.‎ 所以有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.]‎ ‎[规律方法] 应用分类加法计数原理应遵循的两原则 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.‎ (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,且只能属于某一类(即标准明确,不重不漏).‎ ‎[跟踪训练] 椭圆+=1的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________. ‎ ‎【导学号:79140337】‎ ‎10 [因为焦点在x轴上,所以m>n.以m的值为标准分类,可分为四类:‎ 第一类,m=5时,使m>n,n有4种选择;‎ 第二类,m=4时,使m>n,n有3种选择;‎ 第三类,m=3时,使m>n,n有2种选择;‎ 第四类,m=2时,使m>n,n有1种选择.‎ 由分类加法原理知,符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10个.]‎ 分步乘法计数原理 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图1012,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  )‎ 图1012‎ A.24       B.18‎ C.12 D.9‎ ‎(2)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,则可组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答).‎ ‎(1)B (2)18 6 [(1)分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路程.‎ ‎(2)一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知共有3×3×2=18(个)二次函数.若二次函数为偶函数,则b=0,同上可知共有3×2=6(个)偶函数.]‎ ‎[规律方法] 利用分步乘法计数原理应注意以下三点 (1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.‎ (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事.‎ (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.‎ ‎[跟踪训练] (1) (2018·北京西城区二模)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有________种(用数字作答).‎ ‎(2)设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________.‎ ‎(1)36 (2)10 [(1)从3人中选择两人同乘一部电梯有C=3种选择,这两人乘坐的电梯有4种选择,最后1个乘坐的电梯有3种选择,所以不同的乘坐方式有3×4×3=36种.‎ ‎(2)易知A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},‎ 所以x有2种取法,y有5种取法,‎ 由分步乘法计数原理,A*B的元素有2×5=10个.]‎ 两个计数原理的综合应用 ‎ (1)(2018·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为(  )‎ A.72 B.120‎ C.192 D.240‎ ‎(2)如图1013所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为(  )‎ 图1013‎ A.24 B.48‎ C.72 D.96‎ ‎(1)D (2)C [(1)个位数字是2或6时,不同的偶数个数为C·=120;个位数字是4,不同的偶数个数为A=120,则不同的偶数共有120+120=240个,故选D.‎ ‎(2)分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24(种)涂法.‎ ‎②A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种)涂法.‎ 故共有24+48=72种涂色方法.]‎ ‎[规律方法] 与两个计数原理有关问题的解题策略 (1)在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步,但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.‎ (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,化抽象为直观.‎ ‎[跟踪训练] (1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(  )‎ A.48 B.18‎ C.24 D.36‎ ‎(2)(2017·杭州调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对任意x∈A,y∈B,x
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