四川省成都外国语学校2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题

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四川省成都外国语学校2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题

成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷高二数学(理科)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数,若是实数,则实数的值( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.命题“,”的否定为( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎3.曲线 在点 处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知双曲线以椭圆的焦点为顶点,左右顶点为焦点,则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是( )‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎6.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点,则直线与抛物线相切,命题若,则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是( )‎ 第14页,总14页 A. B. C. D.‎ ‎7.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒,若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知,分别为双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,,设四边形的周长为,面积为,且满足,则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第14页,总14页 ‎12.(理)已知函数恰有一个极值点为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、 填空题 本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在复平面内,与复数对应的点位于 象限.‎ ‎14.已知函数,则的单调递增区间为______.‎ ‎15.已知,则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围__________.‎ ‎16(理).已知是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).‎ ‎17.(本小题满分10分)已知函数在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数在区间上的最大值与最小值.‎ 第14页,总14页 ‎18.(本小题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求分数在[120,130)内的频率;‎ ‎(2)估计本次考试的中位数;‎ ‎(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.‎ ‎19.(理)(本小题满分12分)已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:‎ ‎(I)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若点在棱上运动,当直线与平面所成的角最大时,求二面角的余弦值. 图一 图二 ‎ ‎ 第14页,总14页 ‎20.(本小题满分12分)在直角坐标系中,曲线的方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求,交点的直角坐标;(2)设点的极坐标为,点是曲线上的点,求面积的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且. (1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线(与轴不重合)交轨迹于,两点,求三角形面积的取值范围.(为坐标原点)‎ 第14页,总14页 ‎22.(理)已知函数(1)讨论的单调性;(2)若方程有两个不相等的实数根,求证:‎ 第14页,总14页 成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷(答案)‎ 高二数学参考答案 ‎1-5.CABAC 6-10.BBDAB 11-12(文).CC 11-12(理).CC ‎13.第四象限 14. 15. 16.(文) 16.(理) 6‎ 17. ‎(1)‎ ‎(2)当时,取得最大值19, 当时,取得最小值是.‎ ‎18.(1)0.3;(2)(3)‎ ‎【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为1﹣(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1﹣0.7=0.3;‎ ‎(2)由于图中前3个小矩形面积之和为0.4,则设中位数,则 ‎,则 (3) 依题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人),‎ ‎[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人);‎ ‎∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,‎ ‎∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;‎ 在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d;‎ 设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A,‎ 则基本事件有共15种;则事件A包含的基本事件有共9种;∴P(A)==‎ 18. ‎(文)(1)由已知可得,=90°,.又BA⊥AD,且,‎ 所以AB⊥平面ACD. 又AB平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.‎ 第14页,总14页 ‎(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=. 又,所以.‎ 作QE⊥AC,垂足为E,则 . ‎ ‎ 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.‎ 因此,三棱锥的体积为.‎ ‎19.(理)(Ⅰ)设的中点为,连接,.由题意,得,‎ ‎,.‎ 因为在中,,为的中点,所以,‎ 因为在中,,,,,所以.‎ 因为,平面,所以平面,‎ 因为平面,所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,平面,‎ 所以是直线与平面所成的角,且,‎ 所以当最短时,即是的中点时,最大.‎ 由平面,,所以,,于是以 ‎,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,则,,,,,,,,.‎ 第14页,总14页 设平面的法向量为,则 由得:.令,得,,即.‎ 同理,设平面的法向量为, . .由图可知,二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ),,∴,∴.‎ 联立方程组得,解得,,‎ ‎∴所求交点的坐标为,.‎ ‎(Ⅱ)设,则.‎ ‎∴的面积 ‎ ∴当时,.‎ ‎21.(1);(2)‎ ‎【解析】(1)设动点,则 由 ‎,即 , ,化简得 ‎ 第14页,总14页 ‎(2)由(1)知轨迹的方程为,当直线斜率不存在时,‎ 当直线斜率存在时,设直线方程为 ,设 ‎ 由得.‎ 则,,,‎ ‎ ‎ 令,则 ‎ 令,则,当时,,‎ 在上单调递增,,‎ 综上所述,三角形面积的取值范围是 ‎22(文).(1),. ‎ 当时,在恒成立,在是单减函数. ‎ 当时,令,解之得.‎ 第14页,总14页 从而,当变化时,,随的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 单调递增 由上表中可知,在是单减函数,在是单增函数. ‎ 综上,当时,的单减区间为;‎ 当时,的单减区间为,单增区间为. ‎ ‎(2)当,为整数,且当时,恒成立 ‎.‎ 令,只需; ‎ 又,‎ 又因为在有且仅有一个实数根,‎ 在上单减,在上单增; ‎ 又,,‎ 第14页,总14页 ‎,且,即代入式,得 ‎. ‎ 而在为增函数,,即.‎ 而,,即所求的最大值为0.‎ ‎22(理)【答案】(1)易知的定义域为,且,‎ 时,在上恒正,所以在上单调递增,‎ 时,对于,‎ ‎①当,即时,,在上是增函数;‎ ‎②当,即时,有两个正根,‎ 所以,,单调递增,‎ ‎,,单调递减 综上,时,在上是增函数,时,在和上是增函数,在上是减函数 ‎ ‎(2)令,‎ 第14页,总14页 方程有两个不相等的实根函数有两个零点,‎ 由定义域为且 ‎①当时,恒成立,在上单调递增,则至多有一个零点,不符合题意;‎ ‎②当时,得,在上单调递增,在上单调递减 要使有两个零点,则,‎ 由解得 ,此时 ‎ 易知当时,‎ ‎,‎ 令,所以,‎ 时,在为增函数,‎ 在为增函数,,‎ 所以,即,所以 函数在与各存在一个零点,综上所述,. ‎ ‎∴证明证明时,成立 第14页,总14页 设,则 易知在上递减,,在上单调递减 ‎,所以.‎ 第14页,总14页
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