专题02+平面向量与复数（命题猜想）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题
【考向解读】
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.
2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、【解析】几何结合，以解答题形式出现.
【命题热点突破一】平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.
(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.
【答案】(1) (2)－
(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.
因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.
因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．
【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
【变式探究】
(1)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
【答案】(1)C (2) －
【命题热点突破二】平面向量的数量积
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)三个结论
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cosθ＝＝.
例2、【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是
上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
【答案】(1)22 (2)2
【解析】(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋
)·(－)＝2，即2－
·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)如图，在△AOB中，＝＝×(＋)
＝(＋)，
又·＝||||·cos60°＝6，
∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×(2||||＋12)＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．
∴||≥2，故||的最小值是2.
【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
【命题热点突破三】平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
【解析】(1)由·＝2得c·acosB＝2.
又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
【命题热点突破四】复数的概念与运算
复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．
例4、【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
【解析】由，可得，所以，，故【答案】为2．
【变式探究】(1)若复数z＝，则|z|＝( )
A． B．
C．1 D．2
(2)已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】(1)C (2)B
【解析】 (1)z＝＝＝－i，，所以|z|＝＝1.
(2)z＝＝－1－i，则复数z＝－1＋i，对应的点在第二象限．
【高考真题解读】
1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,=
==-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
1.【2016新课标理】设其中,实数,则( )
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】因为所以故选B.
2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）
(A)1 (B) -1 (C) (D)
【答案】C
【解析】，故选C．
3.【2016高考新课标2理数】已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.
4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.
【答案】－1
【解析】，故填：－1
5.【2016高考山东理数】若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）
（A）1+2i （B）12i （C） （D）
【答案】B
6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
【解析】由，可得，所以，，故【答案】为2．
7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.
【答案】5
【解析】，故z的实部是5
1．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】 B
【解析】 因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
2．(2015·广东，2)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )
A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i
【答案】 D
【解析】 因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选D.
3．(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－＝( )
A．－i B．－3i C．i D．3i
【答案】 C
【解析】 i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.选C.
4．(2015·山东，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B． 1＋i C．－1－i D．－1＋i
【答案】 A
【解析】 ∵＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.
5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B. C. D．2
【答案】 A
6.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
7.【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .
【答案】9
8.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为
故选D.
9.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．
10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】
11.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.
12.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
