数学理卷·2017届四川省自贡市高三第二次诊断性考试（2017

数学理卷·2017届四川省自贡市高三第二次诊断性考试（2017

‎2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，0）‎ ‎2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0‎ C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0‎ ‎4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎5．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到 C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 ‎6．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•的值为（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．不确定 ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（　　）‎ A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 365‎ ‎9．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（　　）‎ A．36π B．π C．8π D．π ‎11．设双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F1PF2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（，） D．（，）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为　　．‎ ‎14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　　．‎ ‎15．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为　　．‎ ‎16．设f（x）=（x＞0），计算观察以下格式：‎ f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），f4（x）=f（f3（x）），…‎ 根据以上事实得到当n∈N*时，fn（1）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分）‎ ‎17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．‎ ‎18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．‎ ‎（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．‎ ‎19．自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．‎ ‎（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；‎ ‎（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使+λ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知曲线f（x）=ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：x＞0时， ＜（e为自然对数的底数）‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）≥2．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，0）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}=（0，3），B={x||x|＞2}={x|x＞2或x＜﹣2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 则A∩B=（2，3）‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，‎ 则z=﹣+i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0‎ C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，‎ ‎∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，‎ 即2sinαcosα=cos2α，‎ ‎①当cosα=0时，，此时，‎ ‎②当cosα≠0时，，此时 ‎，‎ 综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到 C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•的值为（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．不确定 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，‎ 用、表示出，再计算•．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，‎ ‎∴==（﹣）‎ ‎∴=+=+（﹣）=+，‎ ‎∴•=（+）•‎ ‎=+•‎ ‎=×32﹣×0‎ ‎=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=﹣2an+1，从而得到{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，‎ ‎∴由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=﹣2an+1，‎ ‎∴{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（　　）‎ A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 365‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，‎ 由题意得，‎ 解得b=125，a=20%，m=369．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n＜7？调整运算的继续与结束，即可计算得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 m=3，n=1‎ ‎[3]=3为奇数，m=，n=3‎ 满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5‎ 满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7‎ 不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（　　）‎ A．36π B．π C．8π D．π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．‎ 则点O为其外接球的球心，半径R=2．‎ ‎∴这个几何体外接球的体积V==π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．设双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F1PF2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，求出直线直线PF1的方程为y=（x+2），再联立双曲线﹣y2=1的方程，求出点P的坐标，根据余弦定理即可求出答案．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1的两焦点分别为F1，F2，‎ ‎∴a=，b=1，c=2，‎ 渐近线方程为y=±x，‎ ‎∴F1（﹣2，0），F2（2，0）‎ ‎∵P为双曲线上的一点，PF1与双曲线的一条渐近线平行，‎ ‎∴直线PF1的方程为y=（x+2），‎ 由，‎ 解得x=﹣，y=，‎ ‎∴P（﹣，），‎ ‎∴|PF1|=，‎ ‎∴|PF2|=2a+|PF1|=2+=，‎ 由cos∠F1PF2==﹣，‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+‎ ‎12x﹣18，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），且f（4）＞g（4），求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），‎ 且f（x）是定义域为R的偶函数，‎ 令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），‎ 又f（﹣1）=f（1），‎ 可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），‎ ‎∴f（x）是周期为2的偶函数．‎ 当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，‎ 函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．‎ 函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，‎ 令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点．‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ ‎∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．‎ 要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，‎ 则有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，且﹣2＞loga（4+1），‎ 解得＜a＜．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为　﹣4　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用定积分求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项．‎ ‎【解答】解：n=n=x3dx=x4=×（24﹣0）=4，‎ ‎∴（x﹣）4的展开式中通项公式为：‎ Tr+1=•x4﹣r•=（﹣1）r••，‎ 令4﹣r=0，解得r=3；‎ ‎∴常数项为（﹣1）3•=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，‎ 直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，‎ ‎∵M为边AC的中点，‎ ‎∴M（，），又BM∥y轴，则b=，‎ 故丨BM丨=丨﹣丨==2，‎ ‎∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，‎ 作AH⊥BM交BM的延长线于H．‎ ‎∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，‎ ‎△ABC的面积2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．设f（x）=（x＞0），计算观察以下格式：‎ f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），f4（x）=f（f3（x）），…‎ 根据以上事实得到当n∈N*时，fn（1）=　（n∈N*）　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ f1（x）=f（x）=，‎ f2（x）=f（f1（x））=；‎ f3（x）=f（f2（x））=．‎ f4（x）=f（f3（x））=‎ ‎…‎ 归纳可得：fn（x）=，（n∈N*）‎ ‎∴fn（1）=（n∈N*），‎ 故答案为（n∈N*）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分）‎ ‎17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；‎ ‎（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA，‎ 由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，‎ ‎∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，‎ ‎∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，‎ 化简得，sinBcosA=sinBsinA，‎ ‎∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，‎ 由0＜A＜π得A=；‎ ‎（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由余弦定理得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，则，‎ 即，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎∴△ABC的面积S=，‎ ‎∴△ABC的面积的最大值是．‎ ‎　‎ ‎18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．‎ ‎（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，可得AF⊥AC，则AF⊥平面ABC，得到平面ABF⊥平面ABC，过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，可证得则四边形GDCF为平行四边形，从而得到GD=CE=，则G为BF的中点，得到的值；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，‎ AF⊥AC，∴AF⊥平面ABC，则平面ABF⊥平面ABC，‎ 过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，‎ 由GD⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AF∥CE，可得GD∥CE，‎ 又EG∥平面ABC，∴EG∥CD，则四边形GDCF为平行四边形，‎ ‎∴GD=CE=，‎ ‎∴=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF⊥AB，AF⊥BC ‎∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABF．‎ 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．‎ 则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），‎ ‎=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．‎ 设平面BEF的法向量=（x，y，z），则 ‎，令y=1，则z=﹣2，x=﹣2， =（﹣2，1，﹣2），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴二面角A﹣BF﹣E的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．‎ ‎（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；‎ ‎（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用；茎叶图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据上半年和下半年的数据，得出这50件产品的利润频率分布表，‎ 写出生产一件产品的利润分布列，计算期望值；‎ ‎（Ⅱ）填写2×2列联表，计算观测值K2，比较临界值得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）上半年的数据为：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38，‎ ‎42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；‎ ‎“中位数”为35，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个；‎ 下半年的数据为：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，‎ ‎40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；‎ ‎“中位数”为35，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个；‎ 则这个样本的50件产品的利润的频率分布表为 利润 频数 频率 ‎20‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎0.42‎ ‎﹣10‎ ‎14‎ ‎0.28‎ 所以，该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列为 ‎ 频率 利润 优质品 ‎0.3‎ ‎6‎ 合格品 ‎0.42‎ ‎4.2‎ 次品 ‎0.28‎ ‎﹣2.8‎ 期望值为6+4.2﹣2.8=7.4；‎ ‎（Ⅱ）由题意，填写2×2列联表如下；‎ 上半年 下半年 优质品 ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ 非优质品 ‎19‎ ‎16‎ ‎35‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 计算观测值K2=≈0.857，‎ 由于0.857＜3.841，‎ 所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使+λ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意的离心率求得a2=2b2，椭圆的通径丨AB丨==2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线l的方程，y=kx+，代入椭圆方程，利用韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，表示出+λ=﹣（1﹣λ）+，则当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+=﹣3，则存在实数λ，使+λ为定值 ‎【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=2b2，①‎ 则丨AB丨==2，则b2=a，②‎ 解得：a=2，b=，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立，得（1+2k2）x2+4kx+2=0，△=（4k）2﹣4×（1+2k2）×2＞0，解得：k2＞，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，从而， +λ=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣）（y2﹣）]，‎ ‎=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3，‎ ‎=（1+λ）（1+k2）×+k×（﹣）+3，‎ ‎=，‎ ‎=﹣（1﹣λ）+，‎ ‎∴当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+=﹣3，此时+λ=﹣3，‎ 故存在常数λ=﹣2，使得+λ为定值﹣3．‎ ‎　‎ ‎21．已知曲线f（x）=ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：x＞0时， ＜（e为自然对数的底数）‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求得函数在点（1，f（1））处的切线l的方程，求得a，b值，进一步求出原函数的极小值点，得到f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅱ）把f（x）的解析式代入 ＜，转化为证﹣＜xlnx，分别构造函数g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）=﹣（0，+∞），然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2﹣，‎ 故f（1）=a，f′（1）=a﹣b，‎ 故切线方程是：y=（a﹣b）（x﹣1）+a=（a﹣b）x﹣a+b，‎ 而y=﹣2x+，故a﹣b=﹣2，﹣a+b=，‎ 解得：a=2，b=4，‎ 故f（x）=x3﹣4lnx，（x＞0），‎ f′（x）=2x2﹣=（x＞0），‎ 当x∈（0，3）时，f′（x）＜0；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 则f（x）在（0，3）上为减函数，在x（3，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）的极小值为f（3）=﹣4ln=（1﹣ln2），无极大值；‎ ‎（2）证明：f（x）=x3﹣4lnx，‎ 要证 ＜，即证﹣＜xlnx．‎ 令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），‎ 则g′（x）=lnx+1，‎ 由g′（x）＜0，得0＜x＜；由g′（x）＞0，得x＞，‎ ‎∴当x=时取得最小值，最小值为g（）=﹣，‎ 由h（x）=﹣，可得h′（x）=，‎ ‎∴当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，‎ 当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减．‎ 函数h（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，‎ 又h（1）=﹣，∴h（x）＜﹣，‎ ‎∴任意x∈（0，+∞），＜．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，‎ ‎∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；‎ ‎（Ⅱ）直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2，即x+y﹣4=0，‎ 圆心到直线的距离d==，‎ ‎∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）≥2．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；‎ ‎（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5，‎ x≥2时，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，‎ ‎﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≥5，无解，‎ x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，‎ 故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣|+|x+2a|≥|x+2a+﹣x|=|2a|+||≥2，‎ 当且仅当|2a|=||，即a=时”=“成立．‎ ‎2017年4月1日