2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练27 数列的概念与简单表示法

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练27 数列的概念与简单表示法

课时分层训练(二十七)　‎ 数列的概念与简单表示法 ‎ (对应学生用书第195页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]‎ ‎2．(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为(　　)‎ ‎ A．5 B．6 ‎ ‎ C．7 D．8‎ ‎ B　[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]‎ ‎3．(2016·佛山测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)‎ ‎ 【导学号：79170158】‎ ‎ A．3(3n－2n) B．3n＋2‎ ‎ C．3n D．3·2n－1‎ C　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝3n，故选C．]‎ ‎4．(2018·黄山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)‎ ‎ A．31 B．42‎ ‎ C．37 D．47‎ ‎ D　[法一：a2＝S1＋1＝3，a3＝S2＋1＝6，a4＝S3＋1＝12，a5＝S4＋1＝24，所以S5＝S4＋a5＝47.‎ 法二：∵an＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)‎ ‎∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，‎ ‎∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.故选D．]‎ ‎5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝(　　)‎ A． B．－ ‎ C．2 D．－2‎ C　[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，‎ 则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，‎ 所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.‎ 　[a4＝S4－S3＝－＝32‎ 解得a1＝.]‎ ‎7．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ n(n＋1)　[由an－an－1＝n得a2－a1＝2，‎ a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，‎ 上面(n－1)个式子相加得 an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，‎ 又n＝1时也满足此式，‎ 所以an＝n(n＋1)．]‎ ‎8．(2018·岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 0‎ ‎17＝________.‎ ‎2 017　[由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，‎ ‎∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.‎ 则a2 017＝2 017.]‎ 三、解答题 ‎9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ ‎ 【导学号：79170159】‎ ‎[解]　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，‎ 解得n＝16或n＝－9(舍去)，‎ 即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．‎ 所以从第7项起各项都是正数．‎ ‎10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； 3分 S2＝a1＋a2＝a＋a2，‎ 解得a2＝2；‎ 同理，a3＝3，a4＝4. 5分 ‎(2)Sn＝a＋an， ①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1， ②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 8分 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝n B．an＝n2‎ C．an＝ D．an＝ B　[∵＋＋…＋＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝(n≥2)，‎ 两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，※‎ 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合※式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]‎ ‎2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.‎ 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，‎ 两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＝4an(n≥2)．‎ ‎∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，‎ ‎∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，‎ ‎∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．‎ 故an＝]‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎ 【导学号：79170160】‎ ‎[解]　(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列， 7分 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞). 12分